\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm, amsmath, amssymb}
\usepackage[russian]{hyperref}
\usepackage{datetime}
\usepackage{cmap}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}
{\bf \Large Лемма 3, билет 20}

Знаем:

$q_{n, k} \le q_{h + 1, k}$, где q центр отрезка $p_{n, k}$($p_{n, k}$ ~--- граница разделения)


Сейчас у нас есть фиксированные q и для них хотим выбрать оптимальные p.

\begin{enumerate}
\item Пусть у нас есть оптимальное разбиение для (n, k) $p_1$ и $q_1$  и  у такого разбиение значение $f_1$.

\item Рассмотрим разбиение для (n + 1, k), у которого границы сохраняются и $q_2 > q_1$, где $q_2$ точка, для которой достигается оптимальное разбиение. Пусть у такого разбиения значение функции будет $f_2$

\item Рассмотрим оптимальное разбиение (n + 1, k). Там достигаются значения $q_2,  p_2 < p_1$ и $f_3 < f_2$

\item Хотим доказать, что разбиение (n, k) с значениями $p_2, q_1$ лучше, то есть $f_4 < f_1, (f_4$ ~--- значение функции при таком разбиение).

\end{enumearte}

{\bf Доказательство:}

$$f_2 = f[p_1] + Tail(p_1, q_2)$$

$$f_1 = f[p_1] + Tail(p_1, q_1) $$

$$f_3 = f[p_2] + Tail(p_2, q_2)$$

$$f_4 = f[p_2]+ Tail(p_2, q_1)$$

$$0 < f_2 - f_3 = (f[p_1] - f[p_2]) - \sum_{i = p_2}^{p_1}w_i\rho(x_i, q_2)$$

$$0 < f_1 - f_4 = (f[p_1] - f[p_2]) - \sum_{i = p_2}^{p_1}w_i\rho(x_i, q_1)$$

$$ \sum_{i = p_2}^{p_1}w_i\rho(x_i, q_2) > \sum_{i = p_2}^{p_1}w_i\rho(x_i, q_1)$$                       
\end{document}