\Section{История про синус}

Докажем, что $\forall \EPS > 0, y \in [-1..1] \quad\exists n \in \N \colon |y - \sin n| < \EPS$.

$\pi$ иррационально $\SO \forall i, j \in \N, i \not= j \colon (i\mod 2\pi) \not= (j\mod 2\pi$).
Рассмотрим первые $n$ натуральных чисел, им соответствуют разные остатки по модулю $2\pi$, то есть,
разные точки на единичной окружности. Есть две точки $i$ и $j$ на расстоянии не больше $\EPS = \frac{2\pi}{n}$.
$0 < (|j{-}i|\mod 2\pi) \le \EPS$. 
Теперь мы можем ходить с шагом $|j{-}i|$ и попасть в окрестность любой точки на окружности:

Чтобы попасть в точку $x$ достаточно взять $k = \lfloor\frac{x}{|j{-}i|}\rfloor$ и точку $k \cdot |j{-}i|$.

Пусть $x = \arcsin y \SO |y - \sin(k|j-i|)| < \EPS$.