Теория чисел (2 декабря 2024)

1. Гаусс
   1. Реализация для квадратной матрицы с ненулевым определителем. Треугольная, диагональная.
   2. Восстановление решение Ax=b за n².
   3. Реализация в общем случае - трапецевидная матрица или перестановка столбцов.
   4. Гаусс, как выделение базиса набора строк.
   5. Гаусс над F₂ (bitset)
   6. Гаусс над R. Погрешность. Какие ещё поля знаем? вычисления по модулю.
   
   
2. Метод итераций для СЛАУ
   1. Решение x=Ax
   2. Решение x=Ax+b
   3. Сходимость для |A|<1
   4. Вероятностные задачи (пример применения)
   
   
3. Обратная матрица
   1. Переход к решению нескольких систем уравнений с одной A.
   2. Метод 1: тащим много столбцов b
   3. Метод 2: приводим A к хорошему виду, запоминаем какие комбинации строк мы выбрали.
   4. Разговор про домножение слева "линейная комбинация строк", домножение справа "линейная комбинация столбцов"
   5. Над F₂
   
   
4. Разложение вектора в базисе
   1. Гауссом
   2. Ортогонализация Грамма-Шмидта
   3. Сравнение методов
   
   
5. Гаусс над областью целостности
   1. Над любой областью целостности работает Евклид ⇒ приведение к треугольной ⇒ посчитать определитель
   2. Пример над Z (как посчитать определитель без длинки?)
   3. Пример над Z/pZ (найти и решение)