% ReS 0_1 (1986)
% En Guise d'Avant-propos (A 1 -- A 6)
% Promenade (P 1 -- P 65)
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% Page 0005 = A 1 1--36
\origpage{A 1}%
{\Large\bf En Guise d'Avant-propos\dots}

\medskip
\hfill{\sl 30 janvier 1986}
\smallskip

\label{Ap}{}Il ne manquait plus que l'avant-propos {\`a} {\'e}crire, pour confier 
R{\'e}coltes et Semailles {\`a} l'imprimeur. Et je jure que j'{\'e}tais de la meilleure vo\-%
lont{\'e} du monde pour {\'e}crire quelque chose qui fasse l'affaire. Quelque chose de 
{\em raisonnable}, cette fois. Trois quatre pages pas plus, mais bien 
senties, pour pr{\'e}senter cet {\'e}norme ``pav{\'e}'' de plus de mille pages. Quelque chose 
qui ``accroche'' le lecteur blas{\'e}, qui lui fasse entrevoir que dans ces peu rassu\-%
rantes ``plus de mille pages'', il pourrait y avoir des choses qui l'int{\'e}ressent 
(voir m{\^e}me, qui le concernent, qui sait?). C'est pas tellement mon style, 
l'accroche, {\c c}a non. Mais l{\`a} j'allais faire l'exception, pour une fois! Il fallait 
bien que ``l'{\'e}diteur assez fou pour courir l'aventure'' (de publier ce monstre, vi\-%
siblement impubliable) rentre dans ses frais tant bien que mal. 

Et puis non, c'est pas venu. J'ai fait de mon mieux pourtant. Et pas qu'un 
apr{\`e}s-midi, comme je comptais le faire, vite fait. Demain {\c c}a fera trois semaines 
pile que je suis dessus, que les feuilles s'entassent. Ce qui est venu, c'est s{\^u}r, 
n'est pas ce qu'on pourrait d{\'e}cemment appeler un ``avant-propos''. C'est encore 
loup{\'e}, d{\'e}cid{\'e}ment! On se refait plus {\`a} mon {\^a}ge --- et je suis pas fait pour, pour 
vendre ou faire vendre. M{\^e}me quand il s'agit de faire plaisir ({\`a} soi-m{\^e}me, et aux 
amis\dots). 

Ce qui est venu, c'est une sorte de longue ``promenade'' comment{\'e}e, {\`a} travers mon 
{\oe}uvre de math{\'e}maticien. Une promenade {\`a} l'intention surtout du ``profane'' --- de 
celui qui ``n'a jamais rien compris aux maths''. Et {\`a} mon intention aussi, qui 
n'avais jamais pris le loisir d'une telle promenade. De fil en aiguille, je me 
suis vu amen{\'e} {\`a} d{\'e}gager et {\`a} dire des choses qui jusque\correct{ }{-}l{\`a} {\'e}taient toujours res\-%
t{\'e}es dans le non-dit. Comme par hasard, ce sont celles aussi que je sens les plus 
essentielles, dans mon travail et dans mon {\oe}uvre. C'est des choses qui n'ont 
rien de technique. A toi de voir si j'ai r{\'e}ussi dans ma na{\"\i}ve entreprise de les 
``faire passer'' --- une entreprise un peu folle s{\^u}rement, elle aussi. Ma satisfac\-%
tion et mon plaisir, ce serait d'avoir su te les faire sentir. Des choses que beau\-%
coup parmi mes savants coll{\`e}gues ne savent plus sentir. Peut-{\^e}tre sont-ils devenus 
trop savants et trop prestigieux. {\c C}a fait perdre contact, souvent, avec les choses 
simples et essentielles. 

Au cours de cette ``promenade {\`a} travers une {\oe}uvre'', je parle un peu de ma vie 
aussi. Et un petit peu, ici et l{\`a}, de quoi il est question dans R{\'e}coltes et 
Semailles. J'en reparle encore et de fa{\c c}on plus d{\'e}taill{\'e}e, dans la ``Lettre'' (dat{\'e}e 
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\origpage{A 2}%
de Mai l'an dernier) qui suit la ``Promenade''. Cette Lettre {\'e}tait destin{\'e}e {\`a} mes 
ex-{\'e}l{\`e}ves et {\`a} mes ``amis d'antan'' dans le monde math{\'e}matique. Mais elle non plus 
n'a rien de technique. Elle peut {\^e}tre lue sans probl{\`e}me par tout lecteur qui 
serait int{\'e}ress{\'e} {\`a} apprendre, par un r{\'e}cit ``sur le vif'', les tenants et aboutis\-%
sants qui m'ont finalement amen{\'e} {\`a} {\'e}crire R{\'e}coltes et Semailles. Plus encore que 
la Promenade, {\c c}a te donnera aussi un avant-go{\^u}t d'une certaine ambiance, dans le 
``grand monde'' math{\'e}matique. Et aussi (tout comme la Promenade), de mon style 
d'expression, un peu sp{\'e}cial para{\^\i}t-il. Et de l'esprit aussi qui s'exprime par ce 
style --- un esprit qui lui non plus n'est pas appr{\'e}ci{\'e} par tout le monde. 

Dans la Promenade et un peu partout dans R{\'e}coltes et Semailles, je parle du 
{\em travail math{\'e}\-ma\-ti\-que}. C'est un travail que je connais bien 
et de premi{\`e}re main. La plupart des choses que j'en dis sont vraies, s{\^u}rement, 
pour tout travail cr{\'e}ateur, tout travail de d{\'e}couverte. C'est vrai tout au moins 
pour le travail dit ``intellectuel'', celui qui se fait surtout ``par la t{\^e}te'', et 
en {\'e}crivant. Un tel travail est marqu{\'e} par l'{\'e}closion et par l'{\'e}panouissement 
d'une {\em compr{\'e}hension\/} des choses que nous sommes en train de sonder. 
Mais, pour prendre un exemple au bout oppos{\'e}, la passion d'amour est, elle aussi, 
pulsion de d{\'e}couverte. Elle nous ouvre {\`a} une connaissance dite ``charnelle'', qui 
elle aussi se renouvelle, s'{\'e}panouit, s'approfondit. Ces deux pulsions --- celle 
qui anime le math{\'e}maticien au travail, disons, et celle en l'amante ou en 
l'amant --- sont bien plus proches qu'on ne le soup{\c c}onne g{\'e}n{\'e}ralement, ou qu'on 
n'est dispos{\'e} {\`a} se l'admettre. Je souhaite que les pages de R{\'e}coltes et Semailles 
puissent contribuer {\`a} te le faire sentir, dans ton travail et dans ta vie de tous 
les jours. 

Au cours de la Promenade, il sera surtout question du travail math{\'e}matique 
lui-m{\^e}me. J'y reste quasiment muet par contre sur le {\em contexte\/} o{\`u} ce 
travail se place, et sur les {\em motivations\/} qui jouent en dehors du temps 
de travail proprement dit. Cela risque de donner de ma personne, ou du math{\'e}mati\-%
cien ou du ``scientifique'' en g{\'e}n{\'e}ral, une image flatteuse certes, mais d{\'e}form{\'e}e. 
Genre ``grande et noble passion'', sans correctif d'aucune sorte. Dans la ligne, en 
somme, du grand ``Mythe de la Science'' (avec~{\em S\/} majuscule s'il vous pla{\^\i}t!). Le 
mythe h{\'e}ro{\"\i}que, ``prom{\'e}th{\'e}en'', dans lequel {\'e}crivains et savants sont tomb{\'e}s (et 
continuent {\`a} tomber) {\`a} qui mieux mieux. Il n'y a gu{\`e}re que les historiens, peut-%
{\^e}tre, qui y r{\'e}sistent parfois, {\`a} ce mythe si s{\'e}duisant. La v{\'e}rit{\'e}, c'est que dans 
les motivations ``du scientifique'', qui parfois le poussent {\`a} investir sans comp\-%
ter dans son travail, l'ambition et la vanit{\'e} jouent un r{\^o}le aussi important et 
quasiment universel, que dans toute autre profession. {\c C}a prend des formes plus 
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\origpage{A 3}%
ou moins grossi{\`e}res, plus ou moins subtiles, suivant l'int{\'e}ress{\'e}. Je ne pr{\'e}tends 
nullement y faire exception. La lecture de mon t{\'e}moignage ne laissera, j'esp{\`e}re, 
aucun doute {\`a} ce sujet. 

Il est vrai aussi que l'ambition la plus d{\'e}vorante est impuissante {\`a} d{\'e}couvrir 
le moindre {\'e}nonc{\'e} math{\'e}matique, ou {\`a} le d{\'e}montrer --- tout comme elle est impuis\-%
sante (par exemple) {\`a} ``faire bander'' (au sens propre du terme). Qu'on soit femme 
ou homme, ce qui ``fait bander'' n'est nullement l'ambition, le d{\'e}sir de briller, 
d'exhiber une puissance, sexuelle en l'occurence --- bien au contraire! Mais c'est 
la perception aigu{\"e} de quelque chose de fort, de tr{\`e}s r{\'e}el et de tr{\`e}s d{\'e}licat {\`a} la 
fois. On peut l'appeler ``la beaut{\'e}'', et c'est l{\`a} un des mille visages de cette 
chose-l{\`a}. D'{\^e}tre ambitieux n'emp{\^e}che pas forc{\'e}ment de sentir parfois la beaut{\'e} 
d'un {\^e}tre, ou d'une chose, d'accord. Mais ce qui est s{\^u}r, c'est que ce n'est 
{\em pas\/} l'ambition qui nous la fait sentir\dots\ 

L'homme qui, le premier, a d{\'e}couvert et ma{\^\i}tris{\'e} le feu, {\'e}tait quelqu'un 
exactement comme toi et moi. Pas du tout ce qu'on se figure sous le nom de 
``h{\'e}ros'', de ``demi-dieu'' et j'en passe. S{\^u}rement, comme toi et comme moi, il a 
connu la morsure de l'angoisse, et la pommade vaniteuse {\'e}prouv{\'e}e, qui fait oublier 
la morsure. Mais au moment o{\`u} il a ``connu'' le feu, il n'y avait ni peur, ni vani\-%
t{\'e}. Telle est la v{\'e}rit{\'e} dans le mythe h{\'e}ro{\"\i}que. Le mythe devient insipide, il de\-%
vient pommade, quand il nous sert {\`a} nous cacher un {\em autre\/} aspect des choses, 
tout aussi r{\'e}el et tout aussi essentiel. 

Mon propos dans R{\'e}coltes et Semailles a {\'e}t{\'e} de parler de l'un et de l'autre 
aspect --- de la pulsion de connaissance, et de la peur et de ses antidotes vani\-%
teux. Je crois ``comprendre'', ou du moins {\em conna{\^\i}tre\/} la pulsion et sa 
nature. (Peut-{\^e}tre un jour d{\'e}couvrirai-je, {\'e}merveill{\'e}, {\`a} quel point je me faisais 
illusion\dots) Mais pour ce qui est de la peur et de la vanit{\'e}, et les insidieux 
blocages de la cr{\'e}ativit{\'e} qui en d{\'e}rivent, je sais bien que je n'ai pas {\'e}t{\'e} au 
fond de cette grande {\'e}nigme. Et j'ignore si je verrai jamais le fond de ce mys\-%
t{\`e}re, pendant les ann{\'e}es qui me restent {\`a} vivre\dots\ 

En cours d'{\'e}criture de R{\'e}coltes et Semailles deux images ont {\'e}merg{\'e}, pour 
repr{\'e}senter l'un et l'autre de ces deux aspects de l'aventure humaine. Ce sont 
l'{\em enfant\/} (alias l'{\em ouvrier\/}), et le {\em Patron}. Dans la 
Promenade qu'on va faire tant{\^o}t, c'est de ``l'enfant'' qu'il sera question presque 
exclusivement. C'est lui aussi qui figure dans le sous-titre 
{\em ``L'enfant et la M{\`e}re''}. Ce nom va s'{\'e}clairer, j'esp{\`e}re, au 
cours de la promenade. 

% Page 0008 = A 4 1--35
\origpage{A 4}%
Dans tout le reste de la r{\'e}flexion, c'est le Patron par contre qui prend sur\-%
tout le devant de la sc{\`e}ne. Il n'est pas patron pour rien! Il serait d'ailleurs 
plus exact de dire qu'il a'agit non pas {\em d'un\/} Patron, mais {\em des\/} Patrons 
d'entreprises concurrentes. Mais il est vrai aussi que tous les Patrons se res\-%
semblent sur l'essentiel. Et quand on commence {\`a} parler des Patrons, {\c c}a signifie 
aussi qu'il va y avoir des ``vilains''. Dans la partie~I de la r{\'e}flexion (``Fatuit{\'e} 
et Renouvellement'', qui fait suite {\`a} la pr{\'e}sente partie introductive, ou le 
``Pr{\'e}lude en quatre Mouvements''), c'est surtout moi, ``le vilain''. Dans les trois 
parties suivantes, c'est surtout ``les autres''. Chacun son tour! 

C'est dire qu'il y aura, en plus de profondes r{\'e}flexions philosophiques et 
de ``confessions'' (nullement contrites), des ``portraits au vitriol'' (pour repren\-%
dre l'expression d'un de mes coll{\`e}gues et amis, qui s'est trouv{\'e} un peu malme\-%
n{\'e}\dots). Sans compter des ``op{\'e}rations'' de grande envergure et pas piqu{\'e}es de vers. 
Robert Jaulin\fnmark(*) m'a assur{\'e} (en blaguant {\`a} demi) que dans R{\'e}coltes et Semailles 
\footnotetext{\fntag(*)% A 4 36--38
Robert Jaulin est un ami de vieille date. J'ai cr{\^u} comprendre que vis-{\`a}-vis 
de l'establishment du milieu ethnologique, il se trouve dans une situation (de 
``loup blanc'') un peu analogue {\`a} la mienne vis-{\`a}-vis du ``beau monde'' math{\'e}matique. 
}%
je faisais ``l'ethnologie du milieu math{\'e}matique'' (ou peut-{\^e}tre la sociologie, je 
ne saurais plus trop dire). On est flatt{\'e} bien s{\^u}r, quand on apprend que (sans 
m{\^e}me le savoir) on fait des choses savantes! C'est un fait qu'au cours de la 
partie ``enqu{\^e}te'' de la r{\'e}flexion (et {\`a} mon corps d{\'e}fendant\dots), j'ai vu d{\'e}filer, 
dans les pages que j'{\'e}tais en train d'{\'e}crire, une bonne partie de l'establishment 
math{\'e}matique, sans compter nombre de coll{\`e}gues et d'amis au statut plus modeste. 
Et ces derniers mois, depuis que j'ai fait les envois du tirage provisoire de 
R{\'e}coltes et Semailles au mois d'octobre dernier, {\c c}a a ``remis {\c c}a'' encore. D{\'e}cid{\'e}\-%
ment, mon t{\'e}moignage est venu comme un pav{\'e} dans la mare. Il y a eu des {\'e}chos un 
peu sur tous les tons vraiment (sauf celui de l'ennui\dots). Presque {\`a} chaque coup, 
c'{\'e}tait pas du tout ce {\`a} quoi je me serais attendu. Et il y a eu aussi beaucoup 
de silence, qui en dit long. Visiblement, j'en avais (et il me reste) {\`a} en appren\-%
dre encore, et de toutes les couleurs, sur ce qui se passe dans la caboche des 
uns et des autres, parmi mes ex-{\'e}l{\`e}ves et autres coll{\`e}gues plus ou moins bien si\-%
tu{\'e}s --- pardon, sur la ``sociologie du milieu math{\'e}matique'' je voulaire dire! 
A tous ceux venus d'ores et d{\'e}j{\`a} apporter leur contribution {\`a} la grande {\oe}uvre 
sociologique de mes vieux jours, je tiens {\`a} exprimer ici-m{\^e}me mes sentiments re\-%
connaissants. 

Bien s{\^u}r, j'ai {\'e}t{\'e} particuli{\`e}rement sensible aux {\'e}chos dans les tonalit{\'e}s cha\-%
leureuses. Il y a eu aussi quelques rares coll{\`e}gues qui m'ont fait part d'une 
{\'e}motion, ou d'un sentiment (rest{\'e} inexprim{\'e} jusqu'alors) de crise, ou de d{\'e}grada\-%
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\origpage{A 5}%
tion {\`a} l'int{\'e}rieur de ce milieu math{\'e}matique dont ils se sentent faire 
partie. 

En dehors de ce milieu, parmi les tout premiers {\`a} faire un accueil chaleu\-%
reux, voire {\'e}mu, {\`a} mon t{\'e}moignage, je voudrais nommer ici Sylvie et 
Catherine Chevalley\fnmark(*), Robert Jaulin, St{\'e}phane Deligeorge, Christian Bourgois. 
\footnotetext{\fntag(*)% A 5 32--35
Sylvie et Catherine Chevalley sont la veuve et la fille de Claude Chevalley, 
le coll{\`e}gue et ami {\`a} qui est d{\'e}di{\'e} la partie centrale de R{\'e}coltes et Semailles 
(ReS~III, ``La Clef du Yin et du Yang''). En plusieurs endroits de la r{\'e}flexion, je 
parle de lui, et du r{\^o}le qui f{\^u}t le sien dans mon itin{\'e}\correct{}{r}aire. 
}%
Si R{\'e}coltes et Semailles va conna{\^\i}tre une diffusion plus {\'e}tendue que celle du 
tirage provisoire initial ({\`a} l'intention d'un cercle des plus restreints), c'est 
surtout gr{\^a}ce {\`a} eux. Gr{\^a}ce, surtout {\`a} leur conviction communicative: que ce que 
je me suis efforc{\'e} de saisir et de dire, devait {\^e}tre dit. Et que cela pouvait 
{\^e}tre entendu dans un cercle plus large que celui de mes coll{\`e}gues (souvent maus\-%
sades, voire hargneux, et nullement dispos{\'e}s {\`a} se remettre en cause\dots). C'est 
ainsi que Christian Bourgois n'a pas h{\'e}sit{\'e} {\`a} courir le risque de publier 
l'inpubliable, et St{\'e}phane Deligeorge, de me faire l'honneur d'accueillir mon 
indigeste t{\'e}moignage dans la collection ``Epist{\'e}m{\`e}'', aux c{\^o}t{\'e}s (pour le moment) 
de Newton, de Cuvier et d'Arago. (Je ne pouvais r{\^e}ver meilleure compagnie!) 
A chacune et {\`a} chacun, pour leurs marques r{\'e}p{\'e}t{\'e}es de sympathie et de confiance, 
survenant {\`a} un moment particuli{\`e}rement ``sensible'', je suis heureux de dire ici 
toute ma reconnaissance. 

\bigbreak

Et nous voil{\`a} sur le d{\'e}part d'une Promenade {\`a} travers une {\oe}uvre, comme entr{\'e}e 
en mati{\`e}re pour un voyage {\`a} travers une vie. Un long voyage oui, de mille pages 
et plus, et bien tass{\'e}e chacune. J'ai mis une vie {\`a} le faire, ce voyage, sans 
l'avoir {\'e}puis{\'e}, et plus d'une ann{\'e}e {\`a} le red{\'e}couvrir, page apr{\`e}s page. Les mots 
parfois ont {\'e}t{\'e} h{\'e}sitants {\`a} venir, pour exprimer tout le jus d'une exp{\'e}rience se 
d{\'e}robant encore {\`a} une compr{\'e}hension h{\'e}sitante --- comme du raisin m{\^u}r et dru entass{\'e} 
dans le pressoir semble, par moments, vouloir se d{\'e}rober {\`a} la force qui 
l'{\'e}treint\dots\ Mais m{\^e}me en les moments o{\`u} les mots semblent se bousculer et couler 
\correct{a}{\`a} flots, ce n'est pas au bonheur-la-chance pourtant qu'ils se bousculent et qu'ils 
coulent. Chacun d'eux a {\'e}t{\'e} pes{\'e} au passage, ou sinon apr{\`e}s-coup, pour {\^e}tre ajust{\'e} 
avec soin s'il a {\'e}t{\'e} trouv{\'e} trop l{\'e}ger, ou trop lourd. Aussi cette r{\'e}flexion-%
t{\'e}moignage-voyage n'est pas faite pour {\^e}tre lue vite fait, en un jour ou en un 
mois, par un lecteur qui aurait h{\^a}te d'en venir au mot de la fin. Il n'y a {\em pas\/} 
% Page 0010 = A 6 1--7
\origpage{A 6}%
de ``mot de la fin'', pas de ``conclusions'' dans R{\'e}coltes et Semailles, pas plus qu'il 
n'y en a dans ma vie, ou dans la tienne. Il y a un vin, vieilli pendant une vie 
dans les f{\^u}ts de mon {\^e}tre. Le dernier verre que tu boiras ne sera pas meilleur 
que le premier ou que le centi{\`e}me. Ils sont tous ``le m{\^e}me'', et ils sont tous 
diff{\'e}rents. Et si le premier verre est g{\^a}t{\'e}, tout le tonneau l'est; autant alors 
boire de la bonne eau (s'il s'en trouve), plut{\^o}t que du mauvais vin. 

Mais un bon vin ne se boit pas {\`a} la va-vite, ni au pied lev{\'e}. 

\cleardoublepage

% Page 0011 = P 1 1--34
\noindent\origpage{P 1}%
\centerline{\Large\bf Promenade {\`a} travers une {\oe}uvre} 

\smallskip
\centerline{\large\it ou}

\smallskip
\centerline{\Large\bf L'enfant et la M{\`e}re}

\bigskip

\hfill {\sl Janvier 1986} 

\medskip\def\xnopref{Pr-}%
\nno1. Quand j'{\'e}tais gosse, j'aimais bien aller {\`a} l'{\'e}cole. On avait le m{\^e}me ma{\^\i}tre 
pour nous enseigner {\`a} lire et {\`a} {\'e}crire, le calcul, le chant (il jouait d'un petit 
violon pour nous accompagner), ou les hommes pr{\'e}historiques et la d{\'e}couverte du 
feu. Je ne me rappelle pas qu'on se soit jamais ennuy{\'e} {\`a} l'{\'e}cole, {\`a} ce moment. Il 
y avait la magie des nombres, et celle des mots, des signes et des sons. Celle de 
la {\em rime\/} aussi, dans les chansons ou dans les petits po{\`e}mes. Il semblait y 
avoir dans la rime un myst{\`e}re au del{\`a} des mots. Il en a {\'e}t{\'e} ainsi, jusqu'au jour 
o\correct{u}{\`u} quelqu'un m'a expliqu{\'e} qu'il y avait un ``truc'' tout simple; que la rime, 
c'est tout simplement quand on fait se terminer par la m{\^e}me syllabe deux mouve\-%
ments parl{\'e}s cons{\'e}cutifs, qui du coup, comme par enchantement, deviennent des 
{\em vers}. C'{\'e}tait une r{\'e}v{\'e}lation! A la maison, o{\`u} je trouvais du r{\'e}pondant au\-%
tour de moi, pendant des semaines et des mois, je m'amusais {\`a} faire des vers. A 
un moment, je ne parlais plus qu'en rimes. {\c C}a m'a pass{\'e}, heureusement. Mais m{\^e}me 
aujourd'hui {\`a} l'occasion, il m'arrive encore de faire des po{\`e}mes --- mais sans plus 
gu{\`e}re aller chercher la rime, si elle ne vient d'elle-m{\^e}me. 

    A un autre moment un copain plus {\^a}g{\'e}, qui allait d{\'e}j{\`a} au lyc{\'e}e, m'a appris 
les nombres n{\'e}gatifs. C'{\'e}tait un autre jeu bien amusant, mais plus vite {\'e}puis{\'e}. 
Et il y avait les mots crois{\'e}s --- je passais des jours et des semaines {\`a} en fabri\-%
quer, de plus en plus imbriqu{\'e}s. Dans ce jeu se combinait la magie de la forme, 
et celle des signes et des mots. Mais cette passion-l{\`a} m'a quitt{\'e}, sans apparem\-%
ment laisser de traces. 

    Au lyc{\'e}e, en Allemagne d'abord la premi{\`e}re ann{\'e}e, puis en France, j'{\'e}tais 
bon {\'e}l{\`e}ve, sans {\^e}tre pour autant ``l'{\'e}l{\`e}ve brillant''. Je m'investissais sans compter 
dans ce qui m'int{\'e}ressait le plus, et avait tendance {\`a} n{\'e}gliger ce qui m'int{\'e}res\-%
sait moins, sans trop me soucier de l'appr{\'e}ciation du ``prof'' concern{\'e}. La premi{\`e}re 
ann{\'e}e de lyc{\'e}e en France, en 1940, j'{\'e}tais intern{\'e} avec ma m{\`e}re au camp de con\-%
centration, {\`a} Rieucros pr{\`e}s de Mende. C'{\'e}tait la guerre, et on {\'e}tait des {\'e}trangers 
--- des ``ind{\'e}sirables'' , comme on disait. Mais l'administration du camp fermait un 
{\oe}il pour les gosses du camp, tout ind{\'e}sirables qu'il soient. On entrait et sor\-%
tait un peu comme on voulait. J'{\'e}tais le plus {\^a}g{\'e}, et le seul {\`a} aller au lyc{\'e}e, 
{\`a} quatre ou cinq kilom{\`e}tres de l{\`a}, qu'il neige ou qu'il vente, avec des chaussures 
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\origpage{P 2}%
de fortune qui toujours prenaient l'eau. 

    Je me rappelle encore la premi{\`e}re ``composition de maths'', o{\`u} le prof m'a 
coll{\'e} une mauvaise note, pour la d{\'e}monstration d'un des ``trois cas d'{\'e}galit{\'e} des 
triangles''. Ma d{\'e}monstration n'{\'e}tait pas celle du bouquin, qu'il suivait reli\-%
gieusement. Pourtant, je savais pertinemment que ma d{\'e}monstration n'{\'e}tait ni plus 
ni moins convainquante que celle qui {\'e}tait dans le livre et dont je suivais 
l'esprit, {\`a} coups des sempiternels ``on fait glisser telle figure de telle fa{\c c}on 
sur telle autre'' traditionnels. Visiblement, cet homme qui m'enseignait ne se 
sentait pas capable de juger par ses propres lumi{\`e}res (ici, la validit{\'e} d'un rai\-%
sonnement). Il fallait qu'il se reporte {\`a} une autorit{\'e}, celle d'un livre en 
l'occurence. {\c C}a devait m'avoir frapp{\'e}, ces dispositions, pour que je me sois 
rappel{\'e} de ce petit incident. Par la suite et jusqu'{\`a} aujourd'hui encore, j'ai eu 
ample occasion pourtant de voir que de telles dispositions ne sont nullement 
l'exception, mais la r{\`e}gle quasi universelle. Il y aurait beaucoup {\`a} dire {\`a} ce 
sujet --- un sujet que j'effleure plus d'une fois sous une forme ou sous une autre, 
dans R{\'e}coltes et Semailles. Mais aujourd'hui encore, que je le veuille ou non, 
je me sens d{\'e}contenanc{\'e}, chaque fois que je m'y trouve {\`a} nouveau confront{\'e}\dots\ 

    Les derni{\`e}res ann{\'e}es de la guerre, alors que ma m{\`e}re restait intern{\'e}e au 
camp, j'{\'e}tais dans une maison d'enfants du ``Secours Suisse'', pour enfants 
r{\'e}fugi{\'e}s, au Chambon sur Lignon. On {\'e}tait juifs la plupart, et quand on {\'e}tait 
averti (par la police locale) qu'il y aurait des rafles de la Gestapo, on allait 
se cacher dans les bois pour une nuit ou deux, par petits groupes de deux ou 
trois, sans trop nous rendre compte qu'il y allait bel et bien de notre peau. 
La r{\'e}gion {\'e}tait bourr{\'e}e de juifs cach{\'e}s en pays c{\'e}venol, et beaucoup ont surv{\'e}cu 
gr{\^a}ce {\`a} la solidarit{\'e} de la population locale. 

    Ce qui me frappait surtout au ``Coll{\`e}ge C{\'e}venol'' (o{\`u} j'{\'e}tais {\'e}l{\`e}ve), c'{\'e}tait 
{\`a} quel point mes camarades s'int{\'e}ressaient peu {\`a} ce qu'ils y apprenaient. Quant 
{\`a} moi, je d{\'e}vorais les livres de classe en d{\'e}but d'ann{\'e}e scolaire, pensant que 
cette fois, on allait enfin apprendre des choses {\em vraiment\/} int{\'e}ressantes; 
et le reste de l'ann{\'e}e j'employais mon temps du mieux que je pouvais, pendant 
que le programme pr{\'e}vu {\'e}tait d{\'e}bit{\'e} inexorablement, {\`a} longueur de trimestres. On 
avait pourtant des profs sympa comme tout. Le prof d'histoire naturelle, Monsieur 
Friedel, {\'e}tait d'une qualit{\'e} humaine et intellectuelle remarquable. Mais, incapa\-%
ble de ``s{\'e}vir'', il se faisait chahuter {\`a} mort, au point que vers la fin de 
l'ann{\'e}e, il devenait impossible de suivre encore, sa voix impuissante couverte 
par le tohu-bohu g{\'e}n{\'e}ral. C'est pour {\c c}a, si {\c c}a se trouve, que je ne suis pas de\-%
venu biologiste! 

% Page 0013 = P 3 1--37
\origpage{P 3}%
    Je passais pas mal de mon temps, m{\^e}me pendant les le{\c c}ons (chut\dots), {\`a} 
faire des probl{\`e}mes de maths. Bient{\^o}t ceux qui se trouvaient dans le livre ne 
me suffisaient plus. Peut-{\^e}tre parce qu'ils avaient tendance, {\`a} force, {\`a} ressem\-%
bler un peu trop les uns aux autres; mais surtout, je crois, parce qu'ils tombaient 
un peu trop du ciel, comme {\c c}a {\`a} la queue-leue-leue, sans dire d'o{\`u} ils venaient 
ni o{\`u} ils allaient. C'{\'e}taient les probl{\`e}mes du livre, et pas {\em mes\/} probl{\`e}mes. 
Pourtant, les questions vraiment naturelles ne manquaient pas. Ainsi, quand les 
longueurs $a$, $b$, $c$ des trois cot{\'e}s d'un triangle sont connues, ce triangle est con\-%
nu (abstraction faite de sa position), donc il doit y avoir une ``formule'' explicite 
pour exprimer, par exemple, l'aire du triangle comme fonction de $a$, $b$,~$c$. Pareil 
pour un t{\'e}tra{\`e}dre dont on conna{\^\i}t la longueur des six ar{\^e}tes --- quel est le volume? 
Ce coup-l{\`a} je crois que j'ai d{\^u} peiner, mais j'ai d{\^u} finir par y arriver, {\`a} force. 
De toutes fa{\c c}ons, quand une chose me ``tenait'', je ne comptais pas les heures ni 
les jours que j'y passais, quitte {\`a} oublier tout le reste! (Et il en est ainsi 
encore maintenant\dots) 

    Ce qui me satisfaisait le moins, dans nos livres de maths, c'{\'e}tait l'absence 
de toute d{\'e}finition s{\'e}rieuse de la notion de longueur (d'une courbe), d'aire 
(d'une surface), de volume (d'un solide). Je me suis promis de combler cette lacu\-%
ne, d{\`e}s que j'en aurais le loisir. J'y ai pass{\'e} le plus clair de mon {\'e}nergie entre~%
1945 et~1948, alors que j'{\'e}tais {\'e}tudiant {\`a} l'Universit{\'e} de Montpellier. Les cours 
{\`a} la Fac n'{\'e}taient pas faits pour me satisfaire. Sans me l'{\^e}tre jamais dit en 
clair, je devais avoir l'impression que les profs se bornaient {\`a} r{\'e}p{\'e}ter leurs 
livres, tout comme mon premier prof de maths au lyc{\'e}e de Mende. Aussi je ne met\-%
tais les pieds {\`a} la Fac que de loin en loin, pour me tenir au courant du sempiter\-%
nel ``programme''. Les livres y suffisaient bien, audit programme, mais il {\'e}tait 
bien clair aussi qu'ils ne r{\'e}pondaient nullement aux questions que je me posais. 
A vrai dire, ils ne les {\em voyaient\/} m{\^e}me pas, pas plus que mes livres de 
lyc{\'e}e ne les voyaient. Du moment qu'ils donnaient des recettes de calcul {\`a} tout 
venant, pour des longueurs, des aires et des volumes, {\`a} coups d'int{\'e}grales simples, 
doubles, triples (les dimensions sup{\'e}rieures {\`a} trois restant prudemment {\'e}lud{\'e}es\dots), 
la question d'en donner une d{\'e}finition intrins{\`e}que ne semblait pas se poser, pas 
plus pour mes professeurs que pour les auteurs des manuels. 

    D'apr{\`e}s l'exp{\'e}rience limit{\'e}e qui {\'e}tait mienne alors, il pouvait bien sem\-%
bler que j'{\'e}tais le seul {\^e}tre au monde dou{\'e} d'une curiosit{\'e} pour les questions 
math{\'e}matiques. Telle {\'e}tait en tous cas ma conviction inexprim{\'e}e, pendant ces 
ann{\'e}es pass{\'e}es dans une solitude intellectuelle compl{\`e}te, et qui ne me pesait 
pas\fnmark(*). A vrai dire, je crois que je n'ai jamais song{\'e}, pendant ce temps, {\`a} 
\footnotetext{\fntag(*)% P 3 38--39
Entre 1945 et 1948, je vivais avec ma m{\`e}re dans un petit hameau {\`a} une dizaine 
de kilom{\`e}tres de Montpellier, Mairargues (par Vendargues), perdu au milieu des 
% P 4 1--12
vignes. (Mon p{\`e}re avait disparu {\`a} Auschwitz, en~1942.) On vivait chichement sur 
ma maigre bourse d'{\'e}tudiant. Pour arriver {\`a} joindre les deux bouts, je faisais 
les vendanges chaque ann{\'e}e, et apr{\`e}s les vendanges, du vin de grapiliage, que 
j'arrivais {\`a} {\'e}couler tant bien que mal (en contravention, para{\^\i}t-il, de la l{\'e}gis\-%
lation en vigueur\dots) De plus il y avait un jardin qui, sans avoir {\`a} le travailler 
jamais, nous fournissait en abondance figues, {\'e}pinards et m{\^e}me (vers la fin) des 
tomates, plant{\'e}es par un voisin complaisant au beau milieu d'une mer de splendides 
pavots. C'{\'e}tait la belle vie --- mais parfois juste aux entournures, quand il s'agis\-%
sait de remplacer une monture de lunettes, ou une paire de souliers us{\'e}s jusqu'{\`a} la 
corde. Heureusement que pour ma m{\`e}re, affaiblie et malade {\`a} la suite de son long 
s{\'e}jour dans les camps, on avait droit {\`a} l'assistance m{\'e}dicale gratuite. Jamais on 
ne serait arriv{\'e}s {\`a} payer un m{\'e}decin\dots\ 
}%
% Page 0014 = P 4 13--40
\origpage{P 4}%
approfondir la question si oui ou non j'{\'e}tais bien la seule personne au monde 
susceptible de s'int{\'e}resser {\`a} ce que je faisais. Mon {\'e}nergie {\'e}tait suffisamment 
absorb{\'e}e {\`a} tenir la gageure que je m'{\'e}tais propos{\'e}: d{\'e}velopper une th{\'e}orie qui 
me satisfasse pleinement. 

    Il n'y avait aucun doute en moi que je ne pourrai manquer d'y arriver, de 
trouver le fin mot des choses, pour peu seulement que je me donne la peine de les 
scruter, en mettant noir sur blanc ce qu'elles me disaient, au fur et {\`a} mesure. 
L'intuition du {\em volume}, disons, {\'e}tait irr{\'e}cusable. Elle ne pouvait qu'{\^e}tre 
le reflet d'une {\em r{\'e}alit{\'e}}, {\'e}lusive pour le moment, mais parfaitement fiable. 
C'est cette r{\'e}alit{\'e} qu'il s'agissait de saisir, tout simplement --- un peu, peut-%
{\^e}tre, comme cette r{\'e}alit{\'e} magique de ``la rime'' avait {\'e}t{\'e} saisie, ``comprise'' un 
jour. 

    En m'y mettant, {\`a} l'{\^a}ge de dix-sept ans et frais {\'e}moulu du lyc{\'e}e, je croyais 
que ce serait l'affaire de quelques semaines. Je suis rest{\'e} dessus pendant trois 
ans. J'ai trouv{\'e} m{\^e}me moyen, {\`a} force, de louper un examen, en fin de deuxi{\`e}me 
ann{\'e}e de Fac --- celui de trigonom{\'e}trie sph{\'e}rique (dans l'option ``astronomie appro\-%
fondie'', sic), {\`a} cause d'une erreur idiote de calcul num{\'e}rique. (Je n'ai jamais 
{\'e}t{\'e} bien fort en calcul, il faut dire, une fois sorti du lyc{\'e}e\dots) C'est pour {\c c}a 
que j'ai d{\^u} rester encore une troisi{\`e}me ann{\'e}e {\`a} Montpellier pour y terminer ma 
licence, au lieu d'aller {\`a} Paris tout de suite --- le seul endroit, m'assurait-on, 
o{\`u} j'aurais l'occasion de rencontrer les gens au courant de ce qui {\'e}tait consi\-%
d{\'e}r{\'e} comme important, en maths. Mon informateur, Monsieur Soula, m'assurait aussi 
que les derniers probl{\`e}mes qui s'{\'e}taient encore pos{\'e}s en maths avaient {\'e}t{\'e} r{\'e}solus, 
il y avait vingt ou trente ans, par un d{\'e}nomm{\'e} Lebesgue. Il aurait d{\'e}velopp{\'e} jus\-%
tement (dr{\^o}le de co{\"\i}ncidence, d{\'e}cid{\'e}ment!) une th{\'e}orie de la mesure et de l'int{\'e}\-%
gration, laquelle mettait un point final {\`a} la math{\'e}matique. 

    Monsieur Soula, mon prof de ``calcul diff'', {\'e}tait un homme bienveillant et 
bien dispos{\'e} {\`a} mon {\'e}gard. Je ne crois pas qu'il m'ait convaincu pour autant. Il 
% Page 0015 = P 5 1--34
\origpage{P 5}%
devait d{\'e}j{\`a} y avoir en moi la prescience que la math{\'e}matique est une chose illi\-%
mit{\'e}e en {\'e}tendue et en profondeur. La mer a-t-elle un ``point final''? Toujours 
est-il qu'{\`a} aucun moment je n'ai {\'e}t{\'e} effleur{\'e} par la pens{\'e}e d'aller d{\'e}nicher le li\-%
vre de ce Lebesgue dont Monsieur Soula m'avait parl{\'e}, et qu'il n'a pas d{\^u} non plus 
jamais tenir entre les mains. Dana mon esprit, il n'y avait rien de commun entre 
ce que pouvait contenir un livre, et le travail que {\em je\/} faisais, {\`a} {\em ma\/} fa{\c c}on, 
pour satisfaire ma curiosit{\'e} sur telles choses qui m'avaient intrigu{\'e}. 

\bigbreak
\nno2. Quand j'ai finalement pris contact avec le monde math{\'e}matique {\`a} Paris, un 
ou deux ans plus tard, j'ai fini par y apprendre, entre beaucoup d'autres choses, 
que le travail que j'avais fait dans mon coin avec les moyens du bord, {\'e}tait ({\`a} 
peu de choses pr{\`e}s) ce qui {\'e}tait bien connu de ``tout le monde'', sous le nom de 
``th{\'e}orie de la mesure et de l'int{\'e}grale de Lebesgue''. Aux yeux des deux ou trois 
a{\^\i}n{\'e}s {\`a} qui j'ai parl{\'e} de ce travail (voire m{\^e}me, montr{\'e} un manuscrit), c'{\'e}tait 
un peu comme si j'avais simplement perdu mon temps, {\`a} refaire du ``d{\'e}j{\`a} connu''. 
Je ne me rappelle pas avoir {\'e}t{\'e} d{\'e}{\c c}u, d'ailleurs. A se moment-l{\`a}, l'id{\'e}e de recueil\-%
lir un ``cr{\'e}dit'', ou ne serait-ce qu'une approbation ou simplement l'int{\'e}r{\^e}t 
d'autrui, pour le travail que je faisais, devait {\^e}tre encore {\'e}t\correct{}{r}ang{\`e}re {\`a} mon es\-%
prit. Sans compter que mon {\'e}nergie {\'e}tait bien assez accapar{\'e}e {\`a} me familiariser 
avec un milieu compl{\`e}tement diff{\'e}rent, et surtout, {\`a} apprendre ce qui {\'e}tait con\-%
sid{\'e}r{\'e} {\`a} Paris comme le B.A.BA du math{\'e}maticien\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntag(*)% P 5 35--37
Je fais un court r{\'e}cit de cette {\'e}poque de transition un peu rude, dans la 
premi{\`e}re partie de R{\'e}coltes et Semailles (ReS~I), dans la section 
``L'{\'e}tranger bienvenu'' (n$^\circ$~9). 
}%

    Pourtant, en repensant maintenant {\`a} ces trois ann{\'e}es, je me rends compte 
qu'elles n'{\'e}taient nullement gaspill{\'e}es. Sans m{\^e}me le savoir, j'ai appris alors 
dans la solitude ce qui fait l'essentiel du m{\'e}tier de math{\'e}maticien --- ce qu'aucun 
ma{\^\i}tre ne peut v{\'e}ritablement enseigner. Sans avoir eu jamais {\`a} me le dire, sans 
avoir eu {\`a} rencontrer quelqu'un avec qui partager ma soif de comprendre, je savais 
pourtant, ``par mes tripes'' je dirais, que j'{\'e}tais math{\'e}maticien: quelqu'un qui 
``fait'' des maths, au plein sens du terme --- comme on ``fait'' l'amour. La math{\'e}mati\-%
que {\'e}tait devenue pour moi une ma{\^\i}tresse toujours accueillante {\`a} mon d{\'e}sir. Ces 
ann{\'e}es de solitude ont pos{\'e} le fondement d'une confiance qui n'a jamais {\'e}t{\'e} 
{\'e}branl{\'e}e --- ni par la d{\'e}couverte (d{\'e}barquant {\`a} Paris {\`a} l'{\^a}ge de vingt ans) de 
toute l'{\'e}tendue de mon ignorance et de l'immensit{\'e} de ce qu'il me fallait appren\-%
cire; ni (plus de vingt ans plus tard) par les {\'e}pisodes mouvement{\'e}s de mon 
d{\'e}part sans retour du monde math{\'e}matique; ni, en ces derni{\`e}res ann{\'e}es, par les 
{\'e}pisodes souvent assez dingues d'un certain ``Enterrement'' (anticip{\'e} et sans 
% Page 0016 = P 6 1--30
\origpage{P 6}%
bavures) de ma personne et de mon {\oe}uvre, orchestr{\'e} par mes plus proches compa\-%
gnons d'antan\dots\ 

    Pour le dire autrement: j'ai appris, en ces ann{\'e}es cruciales, {\`a} {\em {\^e}tre 
seul\/}\fnmark(*). J'entends par l{\`a}: aborder par mes propres lumi{\`e}res les choses que 
\footnotetext{\fntag(*)% P 6 31--39
Cette formulation est quelque peu impropre. Je n'ai jamais eu {\`a} ``apprendre {\`a} 
{\^e}tre seul'', pour la simple raison que je n'ai jamais {\em d{\'e}sappris}, au cours 
de mon enfance, cette capacit{\'e} inn{\'e}e qui {\'e}tait en moi {\`a} ma naissance, comme elle 
est en chacun. Mais ces trois ans de travail solitaire, o{\`u} j'ai pu donner ma mesure 
a moi-m{\^e}me, suivant les crit{\`e}res d'exigence spontan{\'e}e qui {\'e}taient les miens, ont 
confirm{\'e} et repos{\'e} en moi, dans ma relation cette fois au travail math{\'e}matique, une 
assise de confiance et de tranquille assurance, qui ne devait rien aux consensus 
et aux modes qui font loi. J'ai occasion d'y faire allusion {\`a} nouveau dans la note 
``Racines et solitude'' (ReS~IV, n$^\circ$~$171_3$, notamment p.~1080). 
}%
je veux conna{\^\i}tre, plut{\^o}t que de me fier aux id{\'e}es et aux consensus, exprim{\'e}s ou 
tacites, qui me viendraient d'un groupe plus ou moins {\'e}tendu dont je me sentirais 
un membre, ou qui pour toute autre raison serait investi pour moi d'autorit{\'e}. Des 
consensus muets m'avaient dit, au lyc{\'e}e comme {\`a} l'universit{\'e}, qu'il n'y avait pas 
lieu de se poser de question sur la notion m{\^e}me de ``volume'', pr{\'e}sent{\'e}e comme 
``bien connue'', ``{\'e}vidente'', ``sans probl{\`e}me''. J'avais pass{\'e} outre, comme chose 
allant de soi --- tout comme Lebesgue, quelques d{\'e}cennies plus t{\^o}t, avait d{\^u} passer 
outre. C'est dans cet acte de {\em ``passer outre''}, d'{\^e}tre soi-m{\^e}me en 
somme et non pas simplement l'expression des consensus qui font loi, de ne pas 
rester enferm{\'e} {\`a} l'int{\'e}rieur du cercle imp{\'e}ratif qu'ils nous fixent --- c'est avant 
tout dans cet acte solitaire que se trouve {\em ``la cr{\'e}ation''}. Tout 
le reste vient par surcroit. 

    Par la suite, j'ai eu l'occasion, dans ce monde des math{\'e}maticiens qui 
m'accueillait, de rencontrer bien des gens, aussi bien des a{\^\i}n{\'e}s que des jeunes 
gens plus ou moins de mon {\^a}ge, qui visiblement {\'e}taient beaucoup plus brillants, 
beaucoup plus ``dou{\'e}s'' que moi. Je les admirais pour la facilit{\'e} avec laquelle ils 
apprenaient, comme en se jouant, des notions nouvelles, et jonglaient avec comme 
s'ils les connaissaient depuis leur berceau --- alors que je me sentais lourd et 
pataud, me frayant un chemin p{\'e}niblement, comme une taupe, {\`a} travers une montagne 
informe de choses qu'il {\'e}tait important (m'assurait-on) que j'apprenne, et dont 
je me sentais incapable de saisir les tenants et les aboutissants. En fait, je 
n'avais rien de l'{\'e}tudiant brillant, passant haut la main les concours prestigieux, 
assimilant en un tournemain des programmes prohibitifs. 

    La plupart de mes camarades plus brillants sont d'ailleurs devenus des ma\-%
th{\'e}maticiens com\-p{\'e}\-tents et r{\'e}put{\'e}s. Pourtant, avec le recul de trente ou trente-%
cinq ans, je vois qu'ils n'ont pas laiss{\'e} sur la math{\'e}matique de notre temps 
% Page 0017 = P 7 1--36
\origpage{P 7}%
une empreinte vraiment profonde. Ils ont fait des choses, des belles choses par\-%
fois, dans un contexte d{\'e}j{\`a} tout fait, auquel ils n'auraient pas song{\'e} {\`a} toucher. 
Ils sont rest{\'e}s prisonniers sans le savoir de ces cercles invisibles et imp{\'e}rieux, 
qui d{\'e}limitent un Univers dans un milieu et {\`a} une {\'e}poque donn{\'e}e. Pour les fran\-%
chir, il aurait fallu qu'ils retrouvent en eux cette capacit{\'e} qui {\'e}tait leur {\`a} 
leur naissance, tout comme elle {\'e}tait mienne: la capacit{\'e} d'{\^e}tre seul. 

    Le petit enfant, lui, n'a aucune difficult{\'e} {\`a} {\^e}tre seul. Il est solitaire 
par nature, m{\^e}me si la compagnie occasionnelle ne lui d{\'e}pla{\^\i}t pas et qu'il sait 
r{\'e}clamer la totosse de maman, quand c'est l'heure de boire. Et il sait bien, sans 
avoir eu {\`a} se le dire, que la totosse est pour lui, et qu'il {\em sait\/} boire. Mais 
souvent, nous avons perdu le contact avec cet enfant en nous. Et constamment nous 
passons {\`a} c{\^o}t{\'e} du meilleur, sans daigner le voir\dots\ 

    Si dans R{\'e}coltes et Semailles je m'adresse {\`a} quelqu'un d'autre encore qu'{\`a} 
moi-m{\^e}me, ce n'est pas {\`a} un ``public''. Je m'y adresse {\`a} toi qui me lis comme {\`a} une 
{\em personne}, et {\`a} une personne {\em seule}. C'est {\`a} celui en toi qui sait 
{\^e}tre seul, {\`a} l'enfant, que je voudrais parler, et {\`a} personne d'autre. Il est loin 
souvent l'enfant, je le sais bien. Il en a vu de toutes les couleurs et depuis 
belle lurette. Il s'est planqu{\'e} Dieu sait o{\`u}, et c'est pas facile, souvent, 
d'arriver jusqu'{\`a} lui. On jurerait qu'il est mort depuis toujours, qu'il n'a jamais 
exist{\'e} plut{\^o}t --- et pourtant, je suis s{\^u}r qu'il est l{\`a} quelque part, et bien en 
vie. 

    Et je sais aussi quel est le {\em signe\/} que je suis entendu. C'est quand, 
au del{\`a} de toutes les diff{\'e}rences de culture et de destin, ce que je dis de ma 
personne et de ma vie trouve en toi {\'e}cho et r{\'e}sonance; quand tu y retrouves aussi 
{\em ta propre vie}, ta propre exp{\'e}rience de toi-m{\^e}me, sous un jour peut-%
{\^e}tre auquel tu n'avais pas accord{\'e} attention jusque\correct{ }{-}l{\`a}. Il ne s'agit pas d'une 
``identification'', {\`a} quelque chose ou {\`a} quelqu'un d'{\'e}loign{\'e} de toi. Mais peut-{\^e}tre, 
un peu, que tu red{\'e}couvres ta propre vie, ce qui est le plus {\em proche\/} de toi, 
{\`a}~travers la red{\'e}couverte que je fais de la mienne, au fil des pages dans 
R{\'e}coltes et Semailles et jusque dans ces pages que je suis en train d'{\'e}crire 
aujourd'hui m{\^e}me. 

\bigbreak
\nno3. Avant toute chose, R{\'e}coltes et Semailles est une {\em r{\'e}flexion\/} sur 
moi-m{\^e}me et sur ma vie. Par l{\`a}-m{\^e}me, c'est aussi un {\em t{\'e}moignage}, et 
ceci de deux fa{\c c}ons. C'est un t{\'e}moignage sur mon {\em pass{\'e}}, sur lequel porte le 
poids principal de la r{\'e}flexion. Mais en m{\^e}me temps c'est aussi un t{\'e}moignage sur 
le {\em pr{\'e}sent\/} le plus imm{\'e}diat --- sur le moment m{\^e}me o{\`u} j'{\'e}cris, et o{\`u} naissent 
% Page 0018 = P 8 1--32
\origpage{P 8}%
les pages de R{\'e}coltes et Semailles au fil des heures, des nuits et des jours. 
Ces pages sont les fid{\`e}les t{\'e}moins d'une longue m{\'e}ditation sur ma vie, telle 
qu'elle s'est poursuivie r{\'e}ellement (et se poursuit encore en ce moment m{\^e}me\dots). 

Ces pages n'ont pas de pr{\'e}tention litt{\'e}raire. Elles constituent un 
{\em document\/} sur moi-m{\^e}me. Je ne me suis permis d'y toucher (pour des retou\-%
ches stylistiques occasionnelles, notamment) qu'{\`a} l'int{\'e}rieur de limites tr{\`e}s 
{\'e}troites\fnmark(*). S'il a une pr{\'e}tention, c'est celle seulement d'{\^e}tre vrai. Et c'est 
\footnotetext{\fntag(*)% P 8 33--35
Ainsi, les rectifications {\'e}ventuelles d'erreurs (mat{\'e}rielles, ou de perspec\-%
tive, etc) ne sont pas l'occasion de retouches du premier jet, mais se font dans 
des notes de bas de page, ou lors d'un ``retour'' ult{\'e}rieur sur la situation examin{\'e}e. 
}%
beaucoup. 

    Ce document, par ailleurs, n'a rien d'une ``autobiographie''. Tu n'y appren\-%
dras ni ma date de naissance (qui n'aurait gu{\`e}re d'int{\'e}r{\^e}t que pour dresser une 
carte astrologique), ni les noms de ma m{\`e}re et de mon p{\`e}re ou ce qu'ils faisaient 
dans la vie, ni les noms de celle qui fut mon {\'e}pouse et d'autres femmes qui ont 
{\'e}t{\'e} importantes dans ma vie, ou ceux des enfants qui sont n{\'e}s de ces amours, et ce 
que les uns et les autres ont fait de leur vie. Ce n'est pas que ces choses 
n'aient {\'e}t{\'e} importantes dans ma vie, et ne gardent une importance encore mainte\-%
nant. Mais telle que cette r{\'e}flexion sur moi-m{\^e}me s'est engag{\'e}e et poursuivie, {\`a} 
aucun moment je ne me suis senti incit{\'e} {\`a} m'engager tant soit peu dans une descrip\-%
tion de ces choses que je fr{\^o}le ici et l{\`a}, et encore mois, {\`a} aligner consciencieu\-%
sement des noms et des chiffres. A aucun moment, il ne m'aurait sembl{\'e} que cela 
pouvait ajouter quoi que ce soit au propos que je poursuivais en ce moment-l{\`a}. 
(Alors que dans les quelques pages qui pr{\'e}c{\`e}dent, j'ai {\'e}t{\'e} amen{\'e}, comme malgr{\'e} 
moi, {\`a} inclure peut-{\^e}tre plus de d{\'e}tails mat{\'e}riels sur ma vie que dans les mille 
pages qui vont suivre\dots) 

    Et si tu me demandes quel est donc ce ``propos'' que je poursuis {\`a} longueur 
de mille pages, je r{\'e}pondrai: c'est de faire le r{\'e}cit, et par l{\`a}-m{\^e}me la 
{\em d{\'e}couverte}, de {\em l'aventure int{\'e}rieure\/} qu'a {\'e}t{\'e} et 
qu'est ma vie. Ce r{\'e}cit-t{\'e}moignage d'une aventure se poursuit en m{\^e}me temps sur 
les deux niveaux dont je viens de parler. Il y a l'exploration d'une aventure dans 
le pass{\'e}, de ses racines et de son origine jusque dans mon enfance. Et il y a la 
continuation et le renouvellement de cette ``m{\^e}me'' aventure, au fil des instants 
et des jours alors que j'{\'e}cris R{\'e}coltes et Semailles, en r{\'e}ponse spontan{\'e}e {\`a} une 
interpellation violente me venant du monde ext{\'e}rieur\fnmark(**). 
\footnotetext{\fntag(**)% P 8 36--37
Pour des pr{\'e}cisions au sujet de cette ``interpellation violente'', voir 
``Lettre'', notamment sections~3 {\`a}~8. 
}%

% Page 0019 = P 9 1--38
\origpage{P 9}%
    Les faits ext{\'e}rieurs viennent alimenter la r{\'e}flexion, dans la mesure seu\-%
lement o{\`u} ils suscitent et provoquent un rebondissement de l'aventure int{\'e}rieure, 
ou contribuent {\`a} l'{\'e}clairer. Et l'enterrement et le pillage de mon {\oe}uvre math{\'e}\-%
matique, dont il sera longuement question, a {\'e}t{\'e} une telle provocation. Elle a 
suscit{\'e} en moi la lev{\'e}e en masse de r{\'e}actions {\'e}gotiques puissantes, et en m{\^e}me 
temps m'a r{\'e}v{\'e}l{\'e} les liens profonds et ignor{\'e}s qui continuent {\`a} me relier {\`a} 
l'{\oe}uvre issue de moi. 

    Il est vrai que le fait que je fasse partie des ``forts en maths'' n'est pas 
forc{\'e}ment une raison (et encore moins une bonne raison) pour t'int{\'e}resser {\`a} mon 
``aventure'' particuli{\`e}re --- ni le fait que j'aie eu des ennuis avec mes coll{\`e}gues, 
apr{\`e}s avoir chang{\'e} de milieu et de style de vie. Il ne manque d'ailleurs pas de 
coll{\`e}gue ni m{\^e}me d'amis, qui trouvent du plus grand ridicule d'{\'e}taler en public 
(comme ils disent) ses ``{\'e}tats d'{\^a}me''. Ce qui compte, ce sont les ``r{\'e}sultats''. 
L'``{\^a}me'', elle, c'est-{\`a}-dire cela en nous qui {\em vit\/} la ``production'' de ces 
``r{\'e}sultats'', ou aussi ses retomb{\'e}es de toutes sortes (tant dans la vie du ``produc\-%
teur'', que dans celle de ses semblables), est objet de m{\'e}sestime, voire d'une d{\'e}\-%
rision ouvertement affich{\'e}e. Cette attitude se veut expression d'une ``modestie''. 
J'y vois le signe d'une fuite, et un {\'e}trange d{\'e}r{\`e}glement, promu par l'air m{\^e}me 
que nous respirons. Il est s{\^u}r que je n'{\'e}cris pas pour celui frapp{\'e} par cette 
sorte de m{\'e}pris larv{\'e} de lui-m{\^e}me, qui lui fait d{\'e}daigner ce que j'ai de meilleur 
{\`a} lui offrir. Un m{\'e}pris pour ce qui v{\'e}ritablement fait {\em sa propre vie}, 
et pour ce qui fait la mienne: les mouvements superficiels et profonds, grossiers 
ou subtils qui animent la psych{\'e}, cette {\em ``{\^a}me''} justement qui vit l'exp{\'e}rience 
et qui y r{\'e}agit, qui se fige ou qui s'{\'e}panouit, qui se replie ou qui apprend\dots\ 

    Le r{\'e}cit d'une aventure int{\'e}rieure ne peut {\^e}tre fait que par celui qui la 
vit, et par nul autre. Mais alors m{\^e}me que le r{\'e}cit ne serait destin{\'e} qu'{\`a} soi-%
m{\^e}me, il est rare qu'il ne glisse dans l'orni{\`e}re de la construction d'un 
{\em mythe}, dont le narrateur serait le h{\'e}ros. Un tel mythe na{\^\i}t, non de l'ima\-%
gination cr{\'e}atrice d'un peuple et d'une culture, mais de la vanit{\'e} de celui qui 
n'ose assumer une humble r{\'e}alit{\'e}, et qui se pla{\^\i}t {\`a} lui substituer une construction, 
{\oe}uvre de son esprit. Mais un r{\'e}cit {\em vrai\/} (s'il s'en trouve), d'une aventure 
telle qu'elle fut v{\'e}cue vraiment, est chose de prix. Et ceci, non par un prestige 
qui ({\`a} tort ou {\`a} raison) entourerait le narrateur, mais par le seul fait 
d'{\em exister}, avec sa qualit{\'e} de v{\'e}rit{\'e}. Un tel t{\'e}moignage est pr{\'e}cieux, 
qu'il vienne d'un homme de notori{\'e}t{\'e} voire illustre, ou d'un petit employ{\'e} sans 
avenir et charg{\'e} de famille, ou d'un criminel de droit commun. 

    Si un tel r{\'e}cit \correct{\`a}{a} une vertu pour autrui, c'est avant tout, de le reconfronter 
{\`a} lui-m{\^e}me, {\`a} travers ce t{\'e}moignage sans fard de l'exp{\'e}rience d'un autre. Ou aussi 
% Page 0020 = P 10 1--34
\origpage{P 10}%
(pour le dire autrement) d'effacer peut-{\^e}tre en lui (et ne serait-ce que l'espace 
du temps que dure une lecture) ce m{\'e}pris en lequel il tient sa {\em propre 
aventure}, et cette ``{\^a}me'' qui en est le passager et le capitaine\dots\ 

\bigbreak
\nno4. En parlant de mon pass{\'e} de math{\'e}maticien, et par la suite en d{\'e}couvrant 
(comme {\`a} mon corps d{\'e}fendant) les p{\'e}rip{\'e}ties et les arcanes du gigantesque 
Enterrement de mon {\oe}uvre, j'ai {\'e}t{\'e} amen{\'e}, sans l'avoir cherch{\'e}, {\`a} faire le ta\-%
bleau d'un certain milieu et d'une certaine {\'e}poque --- d'une {\'e}poque marqu{\'e}e par la 
d{\'e}composition de certaines des valeurs qui donnaient un sens au travail des hommes. 
C'est l'aspect ``tableau de m{\oe}urs'', bross{\'e} autour d'un ``fait divers'' sans doute 
unique dans les annales de ``la Science''. Ce que j'ai dit pr{\'e}c{\'e}demment\correct{}{,} dit assez 
clairement, je pense, que tu ne trouveras pas dans R{\'e}coltes et Semailles un 
``dossier'' concernant une certaine ``affaire'' peu ordinaire, histoire de te mettre 
au courant vite fait. Tel ami pourtant {\`a} la recherche du dossier, est pass{\'e} yeux 
ferm{\'e}s et sans rien voir, {\`a} c{\^o}t{\'e} de presque tout ce qui fait la substance et la 
chair de R{\'e}coltes et Semailles. 

    Comme je l'explique de fa{\c c}on beaucoup plus circonstanci{\'e}e dans la Lettre, 
``l'enqu{\^e}te'' (ou le ``tableau de m{\oe}urs'') se poursuit surtout au cours des parties~% 
II et~IV, ``L'Enterrement~(1) --- ou la robe de l'Empereur de Chine'' et 
``L'Enterrement~(3) --- ou les Quatre Op{\'e}rations''. Au fil des pages, j'y tire au jour 
obstin{\'e}ment, l'un apr{\`e}s l'autre, une multitude de faits juteux ({\`a} dire le moins), 
que j'essaye tant bien que mal de ``caser'' au fur et {\`a} mesure. Petit {\`a} petit, ces 
faits s'assemblent dans un tableau d'ensemble qui progressivement sort des brumes, 
en des couleurs de plus en plus vives, avec des contours de plus en plus nets. 
Dans ces notes au jour le jour, les ``faits bruts'' qui viennent d'appara{\^\i}tre se m{\'e}\-%
langent inextricablement {\`a} des r{\'e}miniscences personnelles, et {\`a} des commentaires 
et des r{\'e}flexions de nature psychologique, philosophique, voire m{\^e}me (occasionnel\-%
lement) math{\'e}matique. C'est comme {\c c}a et je n'y puis rien! 

    A partir du travail que j'ai fait, qui m'a tenu en haleine pendant plus 
d'une ann{\'e}e, constituer un dossier, en style ``conclusions d'enqu{\^e}te'', devrait 
repr{\'e}senter un travail suppl{\'e}mentaire de l'ordre de quelques heures ou de quelques 
jours, selon la curiosit{\'e} et l'exigence du lecteur int{\'e}ress{\'e}. J'ai bien essay{\'e} 
{\`a} un moment de le constituer, le fameux dossier. C'{\'e}tait quand j'ai commenc{\'e} {\`a} 
{\'e}crire une note qui devait s'appeler ``Les Quatre Op{\'e}rations''\fnmark(*). Et puis non, il 
\footnotetext{\fntag(*)% P 10 35--37
La note pr{\'e}vue {\`a} fini par {\'e}clater en la partie~IV (de m{\^e}me nom 
``Les quatre op{\'e}rations'') de R{\'e}coltes et Semailles, comprenant dans les 70 notes 
s'{\'e}tendant sur bien quatre cent pages. 
}%
y a rien eu {\`a} faire. J'y arrivais pas! Ce n'est pas l{\`a} mon style d'expression, 
% Page 0021 = P 11 1--34
\origpage{P 11}%
d{\'e}cid{\'e}ment, et sur mes vieux jours moins que jamais. Et j'estime {\`a} pr{\'e}sent, avec 
R{\'e}coltes et Semailles, en avoir assez fait pour le b{\'e}n{\'e}fice de la ``communaut{\'e} 
math{\'e}matique'', pour laisser sans remords {\`a} d'autres que moi (s'il s'en trouve par\-%
mi mes coll{\`e}gues qui se sentiraient concern{\'e}s) le soin de constituer le ``dossier'' 
qui s'impose. 

\bigbreak
\nno5. Il est temps que je dise quelques mots ici sur mon {\oe}uvre math{\'e}matique, qui 
a pris dans ma vie et y garde ({\`a} ma propre surprise) une place importante. Plus 
d'une fois dans R{\'e}coltes et Semailles je reviens sur cette {\oe}uvre --- parfois d'une 
fa{\c c}on clairement intelligible {\`a} chacun, et en d'autres moments en des termes tant 
soit peu techniques\fnmark(*). Ces derniers passages vont en grande partie passer ``par 
\footnotetext{\fntag(*)% P 11 35--38
Il y a {\'e}galement ici et l{\`a}, en plus d'aper{\c c}us math{\'e}matiques sur mon {\oe}uvre 
pass{\'e}e, des passages contenant aussi des d{\'e}veloppements math{\'e}matiques nouveaux. 
Le plus long est ``Les cinq photos (cristaux et $\sD$-Modules)'' dans ReS~IV, note 
n$^\circ$~171~(ix). 
}%
dessus la t{\^e}te'' non seulement du ``profane'', mais m{\^e}me du coll{\`e}gue math{\'e}maticien 
qui ne serait plus ou moins ``dans le coup'' des maths dont il y est question. Tu 
peux bien s{\^u}r sauter sans plus les passages qui te para{\^\i}tront de nature un peu 
trop ``cal{\'e}e''. Comme tu peux aussi les parcourir, et saisir peut-{\^e}tre au passage un 
reflet de la ``myst{\'e}rieuse beaut{\'e}'' (comme m'{\'e}crivait un ami non math{\'e}maticien) du 
monde des choses math{\'e}matique, surgissant comme autant d'``{\'e}tranges {\^\i}lots inacces\-%
sibles'' dans les vastes eaux mouvantes de la r{\'e}flexion\dots\ 

    La plupart des math{\'e}maticiens, je l'ai dit tant{\^o}t, sont port{\'e}s {\`a} se cantonner 
dans un cadre conceptuel, dans un {\em ``Univers''} fix{\'e} une bonne fois pour 
toutes --- celui, essentiellement, qu'ils ont trouv{\'e} ``tout fait'' au moment o{\`u} ils 
ont fait leurs {\'e}tudes. Ils sont comme les h{\'e}ritiers d'une grande et belle maison 
toute install{\'e}e, avec ses salles de s{\'e}jour et ses cuisines et ses ateliers, et sa 
batterie de cuisine et un outillage {\`a} tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de 
quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s'est construite progressivement, 
au cours des g{\'e}n{\'e}rations, et comment et pourquoi ont {\'e}t{\'e} con{\c c}us et fa{\c c}onn{\'e}s tels 
outils (et pas d'autres\dots), pourquoi les pi{\`e}ces sont agenc{\'e}es et am{\'e}nag{\'e}es de 
telle fa{\c c}on ici, et de telle autre l{\`a} --- voil{\`a} autant de questions que ces h{\'e}ritiers 
ne songeraient pas {\`a} se demander jamais. C'est {\c c}a ``l'Univers'', le ``donn{\'e}'' dans 
lequel il faut vivre, un point c'est tout! Quelque chose qui para{\^\i}t grand (et on 
est loin, le plus souvent, d'avoir fait le tour de toutes ses pi{\`e}ces), mais 
{\em familier\/} en m{\^e}me temps, et surtout: {\em immuable}. Quand ils s'affai\-%
rent, c'est pour entretenir et embellir un patrimoine: r{\'e}parer un meuble bancal, 
cr{\'e}pir une fa{\c c}ade, aff{\^u}ter un outil, voire m{\^e}me parfois, pour les plus entrepre\-%
nants, fabriquer {\`a} l'atelier, de toutes pi{\`e}ces, un meuble nouveau. Et il arrive, 
% Page 0022 = P 12 1--32
\origpage{P 12}%
quand ils s'y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beaut{\'e}, et que 
la maison toute enti{\`e}re en paraisse embellie. 

    Plus rarement encore, l'un d'eux songera {\`a} apporter quelque modification 
{\`a} un des outils de la r{\'e}serve, ou m{\^e}me, sous la pression r{\'e}p{\'e}t{\'e}e et insistante des 
besoins, d'en imaginer et d'en fabriquer un nouveau. Ce faisant, c'est tout 
juste s'il ne se confondra pas en excuses, pour ce qu'il ressent comme une sorte 
d'enfreinte {\`a} la pi{\'e}t{\'e} due {\`a} la tradition familiale, qu'il a l'impression de bous\-%
culer par une innovation insolite. 

    Dans la plupart des pi{\`e}ces de la maison, les fen{\^e}tres et les volets sont 
soigneusement clos --- de peur sans doute que ne s'y engouffre un vent qui vien\-%
drait d'ailleurs. Et quand les beaux meubles nouveaux, l'un ici et l'autre l{\`a}, 
sans compter la prog{\'e}niture, commencent {\`a} encombrer des pi{\`e}ces devenues {\'e}troites et 
{\`a} envahir jusqu'aux couloirs, aucun de ces h{\'e}ritiers-l{\`a} ne voudra se rendre 
compte que son Univers familier et douillet commence {\`a} se faire un peu {\'e}troit 
aux entournures. Plut{\^o}t que de se r{\'e}soudre {\`a} un tel constat, les uns et les autres 
pr{\'e}f{\'e}reront se faufiler et se coincer tant bien que mal, qui entre un buffet 
Louis~XV et un fauteuil {\`a} bascule en rotin, qui entre un marmot morveux et un 
sarcophage {\'e}gyptien, et tel autre enfin, en d{\'e}sespoir de cause, escaladera de 
son mieux un monceau h{\'e}t{\'e}roclite et croulant de chaises et de bancs\dots\ 

    Le petit tableau que je viens de brosser n'est pas sp{\'e}cial au monde des ma\-%
th{\'e}maticiens. Il illustre des conditionnements inv{\'e}t{\'e}r{\'e}s et imm{\'e}moriaux, qu'on 
rencontre dans tous les milieux et dans toutes les sph{\`e}res de l'activit{\'e} humaine, 
et ceci (pour autant que je sache) dans toutes les soci{\'e}t{\'e}s et {\`a} toutes les {\'e}po\-%
ques. J'ai eu occasion d{\'e}j{\`a} d'y faire allusion, et je ne pr{\'e}tends nullement en 
{\^e}tre exempt moi-m{\^e}me. Comme le montrera mon t{\'e}moignage, c'est le contraire qui 
est vrai. Il se trouve seulement qu'au niveau relativement limit{\'e} d'une activit{\'e} 
cr{\'e}atrice intellectuelle, j'ai {\'e}t{\'e} assez peu touch{\'e}\fnmark(*) par ce conditionnement-l{\`a}, 
\footnotetext{\fntag(*)% P 12 33--35
J'en vois la cause principale dans un certain climat propice qui a entour{\'e} 
mon enfance jusqu'{\`a} l'{\^a}ge de cinq ans. Voir {\`a} ce sujet la note ``L'innocence'' 
(ReS~III, n$^\circ$~107). 
}%
qu'on pourrait appeler la ``c{\'e}cit{\'e} culturelle'' --- l'incapacit{\'e} de voir (et de se 
mouvoir) en dehors de l'``Univers'' fix{\'e} par la culture environnante. 

    Je me sens faire partie, quant {\`a} moi, de la lign{\'e}e des math{\'e}maticiens dont 
la vocation spontan{\'e}e et la joie est de construire sans cesse des maisons nou\-%
velles\fnmark(**). Chemin faisant, ils ne peuvent s'emp{\^e}cher d'inventer aussi et de 
\footnotetext{\fntag(**)% P 12 36--38
Cette image arch{\'e}type de la ``maison'' {\`a} construire, fait surface et se trouve 
formul{\'e}e pour la premi{\`e}re fois dans la note ``Yin le Serviteur, et les nouveaux 
ma{\^\i}tres'' (ReS~III, n$^\circ$~135). 
}%
% Page 0023 = P 13 1--27
\origpage{P 13}%
fa{\c c}onner au fur et {\`a} mesure tous les outils, ustensiles, meubles et instruments 
requis, tant pour construire la maison depuis les fondations jusqu'au fa{\^\i}te, que 
pour pourvoir en abondance les futures cuisines et les futurs ateliers, et ins\-%
taller la maison pour y vivre et y {\^e}tre {\`a} l'aise. Pourtant, une fois tout pos{\'e} 
jusqu'au dernier ch\correct{\^e}{\'e}neau et au dernier tabouret, c'est rare que l'ouvrier s'attar\-%
de longuement dans ces lieux, o{\`u} chaque pierre et chaque chevron porte la trace de 
la main qui l'a travaill{\'e} et pos{\'e}. Sa place n'est pas dans la qui{\'e}tude des univers 
tout faits, si accueillants et si harmonieux soient-ils --- qu'ils aient {\'e}t{\'e} agenc{\'e}s 
par ses propres mains, ou par ceux de ses devanciers. D'autres t{\^a}ches d{\'e}j{\`a} l'appel\-%
lent sur de nouveaux chantiers, sous la pouss{\'e}e imp{\'e}rieuse de besoins qu'il est 
peut-{\^e}tre le seul a sentir clairement, ou (plus souvent encore) en devan{\c c}ant des 
besoins qu'il est le seul {\`a} pressentir. Sa place est au grand air. Il est l'ami 
du vent et ne craint point d'{\^e}tre seul {\`a} la t{\^a}che, pendant des mois et des ann{\'e}es 
et, s'il le faut, pendant une vie enti{\`e}re, s'il ne vient {\`a} la rescousse une re\-%
l{\`e}ve bienvenue. Il n'a que deux mains comme tout le monde, c'est sur --- mais deux 
mains qui {\`a} chaque moment devinent ce qu'elles ont {\`a} faire, qui ne r{\'e}pugnent ni 
aux plus grosses besognes, ni aux plus d{\'e}licates, et qui jamais ne se lassent 
de faire et de refaire connaissance de ces choses innombrables qui les appellent 
sans cesse {\`a} les conna{\^\i}tre. Deux mains c'est peu, peut-{\^e}tre, car le Monde est 
infini. Jamais elles ne l'{\'e}puiseront! Et pourtant, deux mains, c'est beaucoup\dots\ 

    Moi qui ne suis pas fort en histoire, si je devais donner des noms de ma\-%
th{\'e}maticiens dans cette lign{\'e}e-l{\`a}, il me vient spontan{\'e}ment ceux de Galois et de 
Riemann (au si{\`e}cle dernier) et celui de Hilbert (au d{\'e}but du pr{\'e}sent si{\`e}cle). Si 
j'en cherche un repr{\'e}sentant parmi les a{\^\i}n{\'e}s qui m'ont accueilli {\`a} mes d{\'e}buts 
dans le monde math{\'e}matique\fnmark(*), c'est le nom de Jean Leray qui me vient avant 
\footnotetext{\fntag(*)% P 13 28--28
Je parle de ces d{\'e}buts dans la section ``L'{\'e}tranger bienvenu'' (ReS~I, n$^\circ$~9). 
}%
tout autre, alors que mes contacts avec lui sont pourtant rest{\'e}s des plus {\'e}piso\-%
diques\fnmark(**). 
\footnotetext{\fntag(**)% P 13 29--40
Cela n'emp{\^e}che que j'ai {\'e}t{\'e} ({\`a} la suite de H.~Cartan et J.~P.~Serre) un des 
principaux utilisateurs et promoteurs d'une des grandes notions novatrices intro\-%
duites par Leray, celle de faisceau, laquelle a {\'e}t{\'e} un des outils essentiels {\`a} 
travers toute mon {\oe}uvre de g{\'e}om{\`e}tre. C'est elle aussi qui m'a fourni la clef 
pour l'{\'e}largissement de la notion d'espace (topologique) en celle de topos, dont 
il sera question plus bas. 

    Leray diff{\`e}re d'ailleurs du portrait que j'ai trac{\'e} du ``b{\^a}tisseur'', me 
semble-t-il, en ceci qu'il ne semble pas {\^e}tre port\correct{e}{\'e} {\`a} ``construire des maisons 
depuis les fondations jusqu'au fa{\^\i}te''. Plut{\^o}t, il n'a pu s'emp{\^e}cher d'amorcer des 
vastes fondations, en des lieux auxquels personne n'aurait song{\'e}, tout en lais\-%
sant {\`a} d'autres le soin de les terminer et de b{\^a}tir dessus, et, une fois la mai\-%
son construite, de s'installer dans les lieux (ne f{\^u}t-ce que pour un tem\correct{sp}{ps})\dots\ 
}%

% Page 0024 = P 14 1--21
\origpage{P 14}%
    Je viens l{\`a} d'esquisser {\`a} grands traits deux portraits: celui du math{\'e}ma\-%
ticien ``casanier'' qui se contente d'entretenir et d'embellir un h{\'e}ritage, et ce\-%
lui du b{\^a}tisseur-pionnier\fnmark(*), qui ne peut s'emp{\^e}cher de franchir sans cesse ces 
\footnotetext{\fntag(*)% P 14 22--27
Je viens, subrepticement et ``par la bande'', d'accoler l{\`a} deux qualificatifs 
aux m{\^a}les r{\'e}sonances (celui de ``b{\^a}tisseur'' et celui de ``pionnier''), lesquels 
expriment pourtant des aspects bien diff{\'e}rents de la pulsion de d{\'e}couverte, et de 
nature plus d{\'e}licate qui ces noms ne sauraient l'{\'e}voquer. C'est ce qui va appa\-%
ra{\^\i}tre dans la suite de cette promenade-r{\'e}flexion, dans l'{\'e}tape ``A la d{\'e}couverte 
de la M{\`e}re --- ou les deux versants'' (n$^\circ$~17). 
}%
``cercles invisibles et imp{\'e}rieux'' qui d{\'e}limitent un Univers\fnmark(**). On peut les appe\-%
\footnotetext{\fntag(**)% P 14 28--31
Du m{\^e}me coup d'ailleurs, et sans l'avoir voulu, il assigne {\`a} cet Univers an\-%
cien (sinon pour lui-m{\^e}me, du moins pour ses cong{\'e}n{\`e}res moins mobiles que lui) 
des limites nouvelles, en de nouveaux cercles plus vastes certes, mais tout aussi 
invisibles et tout aussi imp{\'e}rieux que le furent ceux qu'ils ont remplac{\'e}s. 
}%
ler aussi, par des noms un peu {\`a} l'emporte-pi{\`e}ce mais suggestifs, les 
``conservateurs'' et les ``novateurs''. L'un et l'autre ont leur raison d'{\^e}tre et 
leur r{\^o}le {\`a} jouer, dans une m{\^e}me aventure collective se poursuivant au cours des 
g{\'e}n{\'e}rations, des si{\`e}cles et des mill{\'e}naires. Dans une p{\'e}riode d'{\'e}panouissement 
d'une science ou d'un art, il n'y a entre ces deux temp{\'e}raments opposition ni 
antagonisme\fnmark(***). Ils sont diff{\'e}rents et ils se compl{\`e}tent mutuellement comme 
\footnotetext{\fntag(***)% P 14 32--37
Tel a {\'e}t{\'e} le cas notamment dans le monde math{\'e}matique, pendant la p{\'e}riode 
(1948--1969) dont j'ai {\'e}t{\'e} un t{\'e}moin direct, alors que je faisais moi-m{\^e}me 
partie de ce monde. Apr{\`e}s mon d{\'e}part en~1970, il semble y avoir eu une sorte 
de r{\'e}action de vaste envergure, une sorte de ``consensus de d{\'e}dain'' pour les 
``id{\'e}es'' en g{\'e}n{\'e}ral, et plus particuli{\`e}rement, pour les grandes id{\'e}es novatrices 
que j'avais introduites. 
}%
se compl{\`e}tent la p{\^a}te et le levain. 

    Entre ces deux types extr{\^e}mes (mais nullement oppos{\'e}s par nature), on trou\-%
ve bien s{\^u}r tout un {\'e}ventail de temp{\'e}raments interm{\'e}diaires. Tel ``casanier'' qui 
ne songerait {\`a} quitter une demeure famili{\`e}re, et encore moins {\`a} aller se coltiner 
le travail d'aller en construire une autre Dieu sait o{\`u}, n'h{\'e}sitera pas pourtant, 
lorsque d{\'e}cid{\'e}ment {\c c}a commence {\`a} se faire {\'e}troit, {\`a} mettre la main {\`a} la truelle 
pour am{\'e}nager une cave ou un grenier, sur{\'e}lever un {\'e}tage, voire m{\^e}me, au besoin, 
adjoindre aux murs quelque nouvelle d{\'e}pendance aux modestes proportions\fnmark(****). 
\footnotetext{\fntag(****)% P 14 38--43
La plupart de mes ``a{\^\i}n{\'e}s'' (dont il est question p.~ex.\ dans ``Une dette 
bienvenue'', Introduction,~10) correspondent {\`a} ce temp{\'e}rament interm{\'e}diaire. J'ai 
pens{\'e} notamment {\`a} Henri Cartan, Claude Chevalley, Andr{\'e} Weil, Jean-Pierre Serre, 
Laurent Schwartz. Sauf peut-{\^e}tre Weil, ils ont d'ailleurs tous accord{\'e} un ``{\oe}il 
de sympathie'', sans ``inqui{\'e}tude ni r{\'e}probation secr{\`e}tes'', aux aventures solitaires 
dans lesquelles ils me voyaient m'embarquer. 
}%
Sans {\^e}tre b{\^a}tisseur dans l'{\^a}me, souvent pourtant il regarde avec un {\oe}il de sym\-%
pathie, ou tout au moins sans inqui{\'e}tude ni r{\'e}probation secr{\`e}tes, tel autre qui 
avait partag{\'e} avec lui le m{\^e}me logis, et que voil{\`a} trimer {\`a} rassembler poutres 
% Page 0025 = P 15 1--36
\origpage{P 15}%
et pierres dans quelque cambrousse impossible, avec les airs d'un qui y ver\-%
rait d{\'e}j{\`a} un palais\dots\ 

\bigbreak
\nno6. Mais je reviens {\`a} ma propre personne et {\`a} mon {\oe}uvre. 

    Si j'ai excell{\'e} dans l'art du math{\'e}maticien, c'est moins par l'habilet{\'e} 
et la pers{\'e}v{\'e}rance {\`a} r{\'e}soudre des probl{\`e}mes l{\'e}gu{\'e}s par mes devanciers, que par 
cette propension naturelle en moi qui me pousse {\`a} voir des {\em questions}, 
visiblement cruciales, que personne n'avait vues, ou {\`a} d{\'e}gager les 
{\em ``bonnes notions''} qui manquaient (sans que personne souvent ne 
s'en soit rendu compte, avant que la notion nouvelle ne soit apparue), ainsi que 
les {\em ``bons {\'e}nonc{\'e}s''} auxquels personne n'avait song{\'e}. Bien souvent, 
notions et {\'e}nonc{\'e}s s'agencent de fa{\c c}on si parfaite, qu'il ne peut y avoir aucun 
doute dans mon esprit qu'ils ne soient corrects ({\`a} des retouches pr{\`e}s, tout au 
plus) --- et souvent alors, quand il ne s'agit d'un ``travail sur pi{\`e}ces'' destin{\'e} 
{\`a} publication, je me dispense d'aller plus loin, et de prendre le temps de met\-%
tre au point une d{\'e}monstration qui bien souvent, une fois l'{\'e}nonc{\'e} et son con\-%
texte bien vus, ne peut plus gu{\`e}re {\^e}tre qu'une question de ``m{\'e}tier'', pour ne 
pas dire de routine. Les choses qui sollicitent l'attention sont innombrables, 
et il est impossible de suivre jusqu'au bout l'appel de chacune! Cela n'emp{\^e}\-%
che que les propositions et th{\'e}or{\`e}mes d{\'e}montr{\'e}s en bonne et due forme, dans mon 
{\oe}uvre {\'e}crite et publi{\'e}e, se chiffrent par milliers, et je crois pouvoir dire 
qu'{\`a} tr{\`e}s peu d'exceptions pr{\`e}s, ils sont tous entr{\'e}s dans le patrimoine commun 
des choses commun{\'e}ment admises comme ``connues'' et couramment utilis{\'e}es un peu 
partout en math{\'e}matique. 

    Mais plus encore que vers la d{\'e}couverte de questions, de notions et 
d'{\'e}nonc{\'e}s nouveaux, c'est vers celle de {\em points de vue\/} f{\'e}conds, 
me conduisant constamment {\`a} introduire, et {\`a} d{\'e}velopper peu ou prou, des 
{\em th{\`e}mes\/} enti{\`e}rement nouveaux, que me porte mon g{\'e}nie particulier. C'est l{\`a}, 
il me semble, ce que j'ai apport{\'e} de plus essentiel {\`a} la math{\'e}matique de mon 
temps. A vrai dire, ces innombrables questions, notions, {\'e}nonc{\'e}s dont je viens 
de parler, ne prennent pour moi un sens qu'{\`a} la lumi{\`e}re d'un tel ``point de vue'' --- 
ou pour mieux dire, ils en {\em naissent\/} spontan{\'e}ment, avec la force de 
l'{\'e}vidence; {\`a} la m{\^e}me fa{\c c}on qu'une lumi{\`e}re (m{\^e}me diffuse) qui surgit dans la 
nuit noire, semble faire na{\^\i}tre du n{\'e}ant ces contours plus ou moins flous ou nets 
qu'elle nous r{\'e}v{\`e}le soudain. Sans cette lumi{\`e}re qui les unit dans un faisceau 
commun, les dix ou cent ou mille questions, notions, {\'e}nonc{\'e}s appara{\^\i}traient comme 
un monceau h{\'e}t{\'e}roclite et amorphe de ``gadgets mentaux'', isol{\'e}s les uns des autres 
% Page 0026 = P 16 1--32
\origpage{P 16}%
--- et non comme les parties d'un {\em Tout\/} qui, pour rester peut-{\^e}tre invisible, 
se d{\'e}robant encore dans les replis de la nuit, n'en est pas moins clairement 
pressenti. 

    Le point de vue f{\'e}cond est celui qui nous r{\'e}v{\`e}le, comme autant de parties 
vivantes d'un m{\^e}me Tout qui les englobe et leur donne un sens, ces questions 
br{\^u}lantes que nul ne sentait, et (comme en r{\'e}ponse peut-{\^e}tre {\`a} ces questions) ces 
notions tellement naturelles que personne pourtant n'avait song{\'e} {\`a} d{\'e}gager, et 
ces {\'e}nonc{\'e}s enfin qui semblent couler de source, et que personne certes ne ris\-%
quait de poser, aussi longtemps que les questions qui les ont suscit{\'e}s, et les 
notions qui permettent de les formuler, n'{\'e}taient pas apparues encore. Plus 
encore que ce qu'on appelle les ``th{\'e}or{\`e}mes-clef'' en math{\'e}matique, ce sont les 
points de vue f{\'e}conds qui sont, dans notre art\fnmark(*), les plus puissants outils 
\footnotetext{\fntag(*)% P 16 33--35
Il n'en est s{\^u}rement pas ainsi dans ``notre art'' seulement, mais (il me sem\-%
ble) dans tout travail de d{\'e}couverte, tout au moins quand celui-ci se situe au 
niveau de la connaissance intellectuelle. 
}%
de d{\'e}couverte --- ou plut{\^o}t, ce ne sont pas des outils, mais ce sont les {\em yeux\/} 
m{\^e}me du chercheur qui, passionn{\'e}ment, veut conna{\^\i}tre la nature des choses math{\'e}\-%
matiques. 

    Ainsi, le point de vue f{\'e}cond n'est autre que cet ``{\oe}il'' qui {\`a} la fois 
nous fait {\em d{\'e}couvrir}, et nous fait {\em recona{\^\i}tre l'unit{\'e}\/} 
dans la multiplicit{\'e} de ce qui est d{\'e}couvert. Et cette unit{\'e} est v{\'e}ritablement 
la vie m{\^e}me et le souffle qui relie et anime ces choses multiples. 

    Mais comme son nom m{\^e}me le sugg{\`e}re, un ``point de vue'' en lui-m{\^e}me reste 
parcellaire. Il nous r{\'e}v{\`e}le {\em un des aspects\/} d'un paysage ou d'un 
panorama, parmi une multiplicit{\'e} d'autres {\'e}galement valables, {\'e}galement 
``r{\'e}els''. C'est dans la mesure o{\`u} se conjuguent les points de vue compl{\'e}mentaires 
d'une m{\^e}me r{\'e}alit{\'e}, o{\`u} se multiplient nos ``yeux'', que le regard p{\'e}n{\`e}tre plus 
avant dans la connaissance des choses. Plus la r{\'e}alit{\'e} que nous d{\'e}sirons conna{\^\i}\-%
tre est riche et complexe, et plus aussi il est important de disposer de plu\-%
sieurs ``yeux''\fnmark(**) pour l'appr{\'e}hender dans toute son ampleur et dans toute sa 
\footnotetext{\fntag(**)% P 16 36--40
Tout point de vue am{\`e}ne {\`a} d{\'e}velopper un {\em langage\/} qui l'exprime et 
qui lui est propre. Avoir plusieurs ``yeux'' ou plusieurs ``points de vue'' pour 
appr{\'e}hender une situation, revient aussi (en math{\'e}matique tout au moins) {\`a} dis\-%
poser de {\em plusieurs langages diff{\'e}rents\/} pour la 
cerner. 
}%
finesse. 

    Et il arrive, parfois, qu'un faisceau de points de vue convergents sur un 
m{\^e}me et vaste paysage, par la vertu de cela en nous apte {\`a} saisir l'{\em Un\/} {\`a} 
travers le multiple, donne corps {\`a} une chose nouvelle; {\`a} une chose qui d{\'e}passe 
chacune des perspectives partielles, de la m{\^e}me fa{\c c}on qu'un {\^e}tre vivant d{\'e}passe 
% Page 0027 = P 17 1--34
\origpage{P 17}%
chacun de ses membres et de ses organes. Cette chose nouvelle, on peut l'appe\-%
ler une {\em vision}. La vision unit les points de vue d{\'e}j{\`a} connus qui l'incar\-%
nent, et elle nous en r{\'e}v{\`e}le d'autres jusque\correct{ }{-}l{\`a} ignor{\'e}s, tout comme le point de 
vue f{\'e}cond fait d{\'e}couvrir et appr{\'e}hender comme partie d'un m{\^e}me Tout, une multi\-%
plicit{\'e} de questions, de notions et d'{\'e}nonc{\'e}s nouveaux. 

    Pour le dire autrement: la vision est aux poins de vue dont elle para{\^\i}t 
issue et qu'elle unit, comme la claire et chaude lumi{\`e}re du jour est aux diff{\'e}\-%
rentes composantes du spectre solaire. Une vision vaste et profonde est comme une 
{\em source\/} in{\'e}puisable, faite pour inspirer et pour {\'e}clairer le travail non 
seulement de celui en qui elle est n{\'e}e un jour et qui s'est fait son serviteur, 
mais celui de g{\'e}n{\'e}rations, fascin{\'e}s peut-{\^e}tre (comme il le fut lui-m{\^e}me) par 
ces lointaines limites qu'elle nous fait entrevoir\dots\ 

\bigbreak
\nno7. La p{\'e}riode dite ``productive'' de mon activit{\'e} math{\'e}matique, c'est-{\`a}-dire 
celle attest{\'e}e par des publications en bonne et due forme, s'{\'e}tend entre~1950 et~%
1969, donc sur vingt ans. Et pendant vingt-cinq ans, entre~1945 (quand j'avais 
dix-sept ans) et~1969 (quand j'allais sur les quarante-deux), j'ai investi pra\-%
tiquement la totalit{\'e} de mon {\'e}nergie dans la recherche math{\'e}matique. Investisse\-%
ment d{\'e}mesur{\'e}, certes. Je l'ai pay{\'e} par une longue stagnation spirituelle, par un 
``{\'e}pai\-ssi\-sse\-ment'' progressif, que j'aurai plus d'une fois l'occasion d'{\'e}voquer 
dans les pages de R{\'e}coltes et Semailles. Pourtant, {\`a} l'int{\'e}rieur du champ limit{\'e} 
d'une activit{\'e} purement intellectuelle, et par l'{\'e}closion et la maturation d'une 
vision restreinte au monde des seules choses math{\'e}matique, c'{\'e}taient des ann{\'e}es 
de cr{\'e}ativit{\'e} intense. 

    Pendant cette longue p{\'e}riode de ma vie, la quasi-totalit{\'e} de mon temps et 
de mon {\'e}nergie {\'e}tait consacr{\'e} {\`a} ce qu'on appelle du {\em ``travail sur 
pi{\`e}ces''}: au minutieux travail de fa{\c c}onnage, d'assemblage et de rodage, 
requis pour la construction de toutes pi{\`e}ces des maisons qu'une voix (ou un 
d{\'e}mon\dots) int{\'e}rieur m'enjoignait de b{\^a}tir, selon un ma{\^\i}tre d'{\oe}uvre qu'elle me 
soufflait au fur et {\`a} mesure que le travail avan{\c c}ait. Pris par les t{\^a}ches de 
``m{\'e}tier'': celles tour {\`a} tour de tailleur de pierre, de ma{\c c}on, de charpentier, 
voire de plombier, de menuisier et d'{\'e}b{\'e}niste --- rarement ai-je pris le loisir 
de noter noir sur blanc, ne f{\^u}t-ce qu'{\`a} grands traits, le ma{\^\i}tre-plan invisible 
{\`a} tous (comme il est apparu plus tard\dots) sauf {\`a} moi, qui au cours des jours, 
des mois et des ann{\'e}es guidait ma main avec une s{\^u}ret{\'e} de somnambule\fnmark(*). Il 
\footnotetext{\fntag(*)% P 17 35--36
L'image du ``somnambule'' m'a {\'e}t{\'e} inspir{\'e}e par le titre du remarquable livre 
de Koestler ``Les somnambules'' (Calman L{\'e}vy), pr{\'e}sentant un ``Essai sur l'histoire 
% P 18 1--42
des conceptions de l'Univers'', depuis les origines de la pens{\'e}e scientifique 
jusqu'{\`a} Newton. Un des aspects de cette histoire qui a frapp{\'e} Koestier et qu'il 
met en {\'e}vidence, c'est {\`a} quel point, souvent, le cheminement d'un certain point 
dans notre connaissance du monde, {\`a} quelque autre point qui (logiquement et avec 
le recul) semble tout proche, passe par les d{\'e}tours parfois les plus acadabrants, 
qui semblent d{\'e}fier la saine raison; et comment pourtant, {\`a} travers ces mille 
d{\'e}tours qui semblent devoir les fourvoyer {\`a} jamais, et avec une ``s{\^u}ret{\'e} de som\-%
nambule'', les hommes partis {\`a} la recherche des ``clefs'' de l'Univers tombent, 
comme magr{\'e} eux et sans m{\^e}me s'en rendre compte souvent, sur d'{\em autres\/} 
``clefs'' qu'ils {\'e}taient loins de pr{\'e}voir, et qui se r{\'e}v{\`e}lent pourtant {\^e}tre ``les 
bonnes''. 

    Par ce que j'ai pu observer autour de moi, au niveau de la d{\'e}couverte math{\'e}\-%
matique, ces faramineux d{\'e}tours dans le cheminement de la d{\'e}couverte sont le 
fait de certains chercheurs de grand format, mais nullement de tous. Cela pour\-%
rait {\^e}tre d{\^u} au fait que depuis deux ou trois si{\`e}cles, la recherche dans les 
sciences de la nature, et plus encore en math{\'e}matique, se trouve d{\'e}gag{\'e}e des 
pr{\'e}suppos{\'e}s religieux ou m{\'e}taphysiques imp{\'e}ratifs relatifs {\`a} une culture et {\`a} une 
{\'e}poque donn{\'e}es, lesquels ont {\'e}t{\'e} des freins particuli{\`e}rement puissants au d{\'e}\-%
ployement (pour le meilleur et pour le pire) d'une compr{\'e}hension ``scienti\correct{}{fi}que'' 
de l'Univers. Il est vrai pourtant que certaines id{\'e}es et des notions les plus 
fondamentales et les plus {\'e}videntes en math{\'e}matique (comme celles de d{\'e}placement, 
de groupe, le nombre z{\'e}ro, le calcul litt{\'e}ral, les coordonn{\'e}es d'un point dans 
l'espace, la notion d'ensemble, ou celle de ``forme'' topologique, sans m{\^e}me par\-%
ler des nombres n{\'e}gatifs et des nombres complexes) ont mis des mill{\'e}naires 
avant de faire leur apparition. Ce sont l{\`a} autant de signes {\'e}loquents de ce ``bloc'' 
inv{\'e}t{\'e}r{\'e}, profond{\'e}ment implant{\'e} dans la psych{\'e}, contre la conception d'id{\'e}es 
totalement nouvelles, m{\^e}me dans les cas o{\`u} celles-ci sont d'une simplicit{\'e} en\-%
fantine et semblent s'imposer d'elles-m{\^e}me avec la force de l'{\'e}vidence, pendant 
des g{\'e}n{\'e}rations, voire, pendant des mill{\'e}naires\dots\ 

    Pour en revenir {\`a} mon propre travail, j'ai l'impression que dans celui-ci 
les ``foirages'' (plus nombreux peut-{\^e}tre que chez la plupart de mes coll{\`e}gues) 
se bornent exclusivement {\`a} des points de d{\'e}tail, g{\'e}n{\'e}ralement vite rep{\'e}r{\'e}s par 
mes propres soins. Ce sont de simples ``accidents de parcours'', de nature pure\-%
ment ``locale'' et sans incidence s{\'e}rieuse sur la validit{\'e} des intuitions essen\-%
tielles concernant la situation examin{\'e}e. Par contre, au niveau des id{\'e}es et 
des grandes intuitions directrices, il me semble que mon {\oe}uvre est exempte de 
tout ``rat{\'e}'', si incroyable que cela puisse para{\^\i}tre. C'est cette s{\^u}ret{\'e} jamais 
en d{\'e}faut pour appr{\'e}hender {\`a} chaque moment, sinon les {\em aboutissements\/} 
ultimes d'une d{\'e}marche (lesquels restent le plus souvent cach{\'e}s au regard), mais 
du moins les {\em directions\/} les plus fertiles qui s'offrent pour me mener 
droit vers les choses {\em essentielles\/} --- c'est cette s{\^u}ret{\'e}-l{\`a} qui avait 
fait r{\'e}surgir en moi l'image de Koestler du ``somnambule''. 
}%
% Page 0028 = P 18 43--50
\origpage{P 18}%
faut dire que le travail sur pi{\`e}ces, dans lequel j'aimais {\`a} mettre un soin amou\-%
reux, n'{\'e}tait nullement fait pour me d{\'e}plaire. De plus, le mode d'expression 
math{\'e}matique qui {\'e}tait profess{\'e} et pratiqu{\'e} par mes a{\^\i}n{\'e}s donnait pr{\'e}{\'e}minence 
({\`a} dire le moins) {\`a} l'aspect technique du travail, et n'encourageait gu{\`e}re les 
``digressions'' qui se seraient attard{\'e}es sur les ``motivations''; voire, celles 
qui auraient fait mine de faire surgir des brumes quelque image ou vision 
peut-{\^e}tre inspirante, mais qui, faute de s'{\^e}tre incarn{\'e}e encore en des construc\-%
tions tangibles en bois, en pierre ou en ciment pur et dur, s'apparentait plus 
% Page 0029 = P 19 1--32
\origpage{P 19}%
{\`a} des lambeaux de r{\^e}ve, qu'au travail de l'artisan, appliqu{\'e} et consciencieux. 

    Au niveau quantitatif, mon travail pendant ces ann{\'e}es de productivit{\'e} 
intense s'est concr{\'e}tis{\'e} surtout par quelques douze mille pages de publications, 
sous forme d'articles, de monographies ou de s{\'e}minaires\fnmark(*), et par des centai\-%
\footnotetext{\fntag(*)% P 19 33--34
A partir des ann{\'e}es 1960, une partie de ces publicationa a {\'e}t{\'e} {\'e}crite avec 
la collaboration de coll{\`e}gues (surtout J.~Dieudonn{\'e}) et d'{\'e}l{\`e}ves. 
}%
nes, si ce n'est des milliers, de notions nouvelles, qui sont entr{\'e}es dans le 
patrimoine commun, avec les noms m{\^e}me que je leur avais donn{\'e} quand je les avais 
d{\'e}gag{\'e}es\fnmark(**). Dans l'histoire des math{\'e}matiques, je crois bien {\^e}tre celui qui a 
\footnotetext{\fntag(**)% P 19 35--39
Les plus imposantes parmi ces notions sont pass{\'e}es en revue dans l'Esquisse 
Th{\'e}matique, et dans le Commentaire Histoire qui l'accompagne, lesquels seront 
inclus dans le volume~4 des R{\'e}flexions. Certains des noms m'ont {\'e}t{\'e} sugg{\'e}r{\'e}s par 
des amis ou des {\'e}l{\`e}ves, tels le terme ``morphisme lisse'' (J.~Dieudonn{\'e}) ou la pa\-%
noplie ``site, champ, gerbe, lien'', d{\'e}velopp{\'e}e dans la th{\`e}se de Jean~Giraud. 
}%
introduit dans notre science le plus grand nombre de notions nouvelles, et en 
m{\^e}me temps, celui qui {\`a} {\'e}t{\'e} amen{\'e}, par cela m{\^e}me, {\`a} inventer le plus grand nom\-%
bre de noms nouveaux, pour exprimer ces notions avec d{\'e}licatesse, et de fa{\c c}on 
aussi suggestive que je le pouvais. 

    Ces indications toutes ``quantitatives'' ne fournissent, certes, qu'une 
appr{\'e}hension plus que grossi{\`e}re de mon {\oe}uvre, passant {\`a} c{\^o}t{\'e} de ce qui v{\'e}rita\-%
blement en fait l'{\^a}me, la vie et la vigueur. Comme je l'{\'e}crivais tant{\^o}t, ce que 
j'ai apport{\'e} de meilleur dans la math{\'e}matique, ce sont les {\em ``points de 
vue''} nouveaux que j'ai su {\em entrevoir\/} d'abord, et ensuite 
{\em d{\'e}gager\/} patiemment et d{\'e}velopper peu ou prou. Comme les notions dont je 
viens de parler, ces nouveaux points de vue, s'introduisant dans une vaste mul\-%
tiplicit{\'e} de situations tr{\`e}s diff{\'e}rentes, sont eux-m{\^e}mes quasiment innombrables. 

    Il est pourtant des points de vue qui sont plus vastes que d'autres, et 
qui {\`a} eux seuls suscitent et englobent une multitude de points de vue partiels, 
dans une multitude de situations particuli{\`e}res diff{\'e}rentes. Un tel point de vue 
peut {\^e}tre appel{\'e} aussi, {\`a} juste titre, une {\em ``grande id{\'e}e''}. Par la 
f{\'e}condit{\'e} qui est sienne, une telle id{\'e}e donne naissance {\`a} une grouillante prog{\'e}\-%
niture, d'id{\'e}es qui toutes h{\'e}ritent de sa f{\'e}condit{\'e}, mais dont la plupart (sinon 
toutes) sont de port{\'e}e moins vaste que l'id{\'e}e-m{\`e}re. 

    Quant {\`a} {\em exprimer\/} une grande id{\'e}e, ``la dire'' donc, c'est l{\`a}, le 
plus souvent, une chose presque aussi d{\'e}licate que sa conception m{\^e}me et sa lente 
gestation dans celui qui l'a con{\c c}ue --- ou pour mieux dire, ce laborieux travail 
de gestation et de formation {\em n'est autre\/} justement que celui qui 
``exprime'' l'id{\'e}e: le travail qui consiste {\`a} la d{\'e}gager patiemment, jour apr{\`e}s 
jour, des voiles de brumes qui l'entourent {\`a} sa naissance, pour arriver peu {\`a} peu 
% Page 0030 = P 20 1--25
\origpage{P 20}%
{\`a} lui donner forme tangible, en un tableau qui s'enrichit, s'affermit et s'affi\-%
ne au fil des semaines, des mois et des ann{\'e}es. {\em Nommer\/} simplement l'id{\'e}e, 
par quelque formule frappante, ou par des mots-clef plus ou moins techniques, 
peut {\^e}tre affaire de quelques lignes, voire de quelques pages --- mais rares se\-%
ront ceux qui, sans d{\'e}j{\`a} bien la conna{\^\i}tre, sauront entendre ce ``nom'' et y re\-%
conna{\^\i}tre un visage. Et quand l'id{\'e}e est arriv{\'e}e en pleine maturit{\'e}, cent pages 
peut-{\^e}tre suffiront {\`a} l'exprimer, {\`a} la pleine satisfaction de l'ouvrier en qui 
elle {\'e}tait n{\'e}e --- comme il se peut aussi que dix mille pages, longuement travail\-%
l{\'e}es et pes{\'e}es, n'y suffiront pas\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntagx(*)% P 20 26--39
Au moment de quitter la sc{\`e}ne math{\'e}matique en~1970, l'ensemble de mes publi\-%
cations (dont bon nombre en collaboration) sur le th{\`e}me central des 
{\em sch{\'e}mas}, devait se monter {\`a} quelques dix mille pages. Cela ne repr{\'e}sentait 
pourtant qu'une partie modeste du programme de vaste envergure que je voyais de\-%
vant moi, concernant les sch{\'e}mas. Ce programme a {\'e}t{\'e} abandonn{\'e} sine die d{\`e}s mon 
d{\'e}part, et ceci malgr{\'e} le fait qu'{\`a} tr{\`e}s peu de choses pr{\`e}s, {\em tout\/} ce qui 
avait {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e} et publi{\'e} d{\'e}j{\`a} pour {\^e}tre mis {\`a} la disposition de tous, est 
entr{\'e} d'embl{\'e}e dans le patrimoine commun des notions et des r{\'e}sultats commun{\'e}ment 
utilis{\'e}s comme ``bien connus''.

    La partie de mon programme sur le th{\`e}me sch{\'e}matique et sur ses prolongements 
et ramifications, que j'avais accomplie au moment de mon d{\'e}part, repr{\'e}sente {\`a} 
lui seul le plus vaste travail de fondements jamais accompli dans l'histoire de 
la math{\'e}matique, et s{\^u}rement un des plus vastes aussi dans l'histoire des Sciences. 
}%

    Et dans l'un comme l'autre cas, parmi ceux qui, pour la faire leur, ont 
pris connaissance du travail qui enfin pr{\'e}sente l'id{\'e}e en plein essor, telle 
une spacieuse futaie qui aurait pouss{\'e} l{\`a} sur une lande d{\'e}serte --- il y a fort 
{\`a} parier que nombreux seront ceux qui verront bien tous ces arbres vigoureux 
et sveltes et qui en auront l'usage (qui pour y grimper, qui pour en tirer 
poutres et planches, et tel autre encore pour faire flamber les feux dans sa 
cheminette\dots). Mais rares seront ceux qui auront su voir la for{\^e}t\dots\ 

\bigbreak
\nno8. Peut-{\^e}tre peut-on dire que la ``grande id{\'e}e'' est le point de vue qui, non 
seulement se r{\'e}v{\`e}le nouveau et f{\'e}cond, mais qui introduit dans la science un 
{\em th{\`e}me\/} nouveau et vaste qui l'incarne. Et toute science, quand nous l'enten\-%
dons non comme un instrument de pouvoir et de domination, mais comme aventure de 
connaissance de notre esp{\`e}ce {\`a} travers les {\^a}ges, n'est autre chose que cette 
harmonie, plus ou moins vaste et plus ou \correct{plus}{moins} riche d'une {\'e}poque {\`a} l'autre, qui 
se d{\'e}ploie au cours des g{\'e}n{\'e}rations et des si{\`e}cles, par le d{\'e}licat contrepoint 
de tous les th{\`e}mes apparus tour {\`a} tour, comme appel{\'e}s du n{\'e}ant, pour se joindre 
en elle et s'y entrelacer. 

% Page 0031 = P 21 1--9
\origpage{P 21}%
    Parmi les nombreux points de vue nouveau, que j'ai d{\'e}gag{\'e}s en math{\'e}mati\-%
que, il en est {\em douze}, avec le recul, que j'appellerais des ``grandes 
id{\'e}es''\fnmark(*). Voir mon {\oe}uvre de math{\'e}maticien, la ``sentir'', c'est voir et ``sentir''  
\footnotetext{\fntag(*)% P 21 10--27
Voici, pour le lecteur math{\'e}maticien qui en serait curieux, la liste de ces  
douze id{\'e}es ma{\^\i}tresses, ou des ``ma{\^\i}tre-th{\`e}mes'' de mon {\oe}uvre (par ordre chronolo\-% 
gique d'apparition)\correct{.}{:} 

\begin{enumerate}
\item Produits tensoriels topologiques et espaces nucl{\'e}aires.
\item Dualit{\'e} ``continue'' et ``discr{\`e}te'' (cat{\'e}gories d{\'e}riv{\'e}es, ``six op{\'e}rations''). 
\item Yoga Riemann--Roch--Grothendieck (K-th{\'e}orie, relation {\`a} la th{\'e}orie des inter\-%
sections).
\item Sch{\'e}mas. 
\item Topos. 
\item Cohomologie {\'e}tale et $\ell$-adique. 
\item Motifs et groupe de Galois motivique ($\otimes$-cat{\'e}gories de Grothendieck).  
\item Cristaux et cohomologie cristalline, yoga ``coefficients de De Rham'',
      ``coefficients de Hodge''\dots
\item ``Alg{\`e}bre topologique'': $\infty$-champs, d{\'e}rivateurs; formalisme cohomologique des 
      topos, comme inspiration pour une nouvelle alg{\`e}bre homotopique. 
\item Topologie mod{\'e}r{\'e}e. 
\item Yoga de g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique anab{\'e}lienne, th{\'e}orie de Galois--Teichm{\"u}ller.  
\item Point de vue ``sch{\'e}matique'' ou ``arithm{\'e}tique'' pour les poly{\`e}dres reguliers 
      et les configurations r{\'e}guli{\`e}res en tous genres. 
\end{enumerate}

    Mis {\`a} part le premier de ces th{\`e}mes, dont un volet important fait partie de 
ma th{\`e}se (1953) et a {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e} dans ma p{\'e}riode d'analyse fonctionnelle entre~%
1950 et~1955, les onze autres se sont d{\'e}gag{\'e}s au cours de ma p{\'e}riode de g{\'e}om{\`e}tre, 
{\`a} partir de~1955.
}%
tant soit peu au moins certaines de ces id{\'e}es, et ces grands th{\`e}mes qu'elles 
introduisent et qui font et la trame, et l'{\^a}me de l'{\oe}uvre. 

    Par la force des choses, certaines de ces id{\'e}es sort ``plus grandes'' que 
d'autres (lesquelles, par l{\`a}-m{\^e}me, sont ``plus petites''). En d'autres termes, 
parmi ces th{\`e}mes nouveaux, certains sont plus vastes que d'autres, et certains 
plongent plus profond au c{\oe}ur du myst{\`e}re des choses math{\'e}matiques\fnmark(**). Il en 
\footnotetext{\fntag(**)% P 21 28--42
Parmi ces th{\`e}mes, le plus {\em vaste\/} par sa {\em port{\'e}e\/} me para{\^\i}t {\^e}tre  
celui des {\em topos}, qui fournit l'id{\'e}e d'une synth{\`e}se de la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}bri\-%
que, de la topologie et de l'arithm{\'e}tique. Le plus vaste par l'{\em {\'e}tendue 
des developpements\/} auxquels il a donn{\'e} lieu d{\`e}s {\`a} present, est 
le th{\`e}me des {\em sch{\'e}mas}. (Voir {\`a} ce sujet la note de b.~de p.~\fnmarkref{P 20-*}(*) page~\pgref{20}{P 20-*}.) 
C'est lui qui fournit le cadre ``par excellence'' de huit autres parmi ces th{\`e}mes 
envisag{\'e}s (savoir, tous les autres {\`a} l'exclusion des th{\`e}mes~1, 5 et~19, en m{\^e}me 
temps qu'il fournit la notion centrale pour un renouvellement de fond en comble
de la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique, et du langage alg{\'e}brico-g{\'e}om{\'e}trique.  

Au bout oppos{\'e}, le premier et le dernier des douze th{\`e}mes m'apparaissent comme 
{\'e}tant de dimensions plus modestes que les autres. Pourtant, pour ce qui est du  
dernier, introduisant une optique nouvelle dans le th{\`e}me fort ancien des poly{\`e}dres  
r{\'e}guliers et des configurations r{\'e}guli{\`e}res, je doute que la vie d'un math{\'e}maticien  
qui s'y consacrerait corps et {\^a}me suffise {\`a} l'{\'e}puiser. Quant au premier de tous 
ces th{\`e}mes, celui des produits tensoriels topologiques, il a jou{\'e} plus le r{\^o}le d'un 
% P 25 1--18
nouvel outil pr{\^e}t {\`a} l'emploi, que celui d'une source d'inspiration pour des 
d{\'e}veloppements ult{\'e}rieurs. Cela n'emp{\^e}che qu'il m'arrive encore, jusqu'en ces 
derni{\`e}res ann{\'e}es, de recevoir des {\'e}chos sporadiques de travaux plus ou moins 
r{\'e}cents, r{\'e}solvant (vingt ou trente ans apr{\`e}s) certaines des questions que 
j'avais laiss{\'e}es en suspens. 

    Les plus profonds ({\`a} mes yeux) parmi ces douze th{\`e}mes, sont celui des 
{\em motifs}, et celui {\'e}troitement li{\'e} de {\em g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}bri\-%
que anab{\'e}lienne\/} et du {\em yoga de Galois--%
Teichm{\"u}ller}. 

    Du point de vue de la {\em puissance d'outils\/} parfaitement 
au point et rod{\'e}s par mes soins, et d'usage courant dans divers ``secteurs de 
pointe'' dans la recherche au cours des deux derni{\`e}res d{\'e}cennies, ce sont les 
volets {\em ``sch{\'e}mas''} et {\em ``cohomologie {\'e}tale et 
$\ell$-adique''} qui me paraissent les plus notables. Pour un math{\'e}maticien 
bien inform{\'e}, je pense que d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent il ne peut gu{\`e}re y avoir de doute que 
l'outil sch{\'e}matique, comme celui de la cohomologie $\ell$-adique qui en est issu, font 
partie des quelques grands acquis du si{\`e}cle, venus nourrir et renouveller notre 
science au cours de ces derni{\`e}res g{\'e}n{\'e}rations. 
}%
% Page 0032 = P 22 19--38
\origpage{P 22}%
est trois (et non des moindres {\`a} mes yeux) qui, apparus seulement apr{\`e}s mon d{\'e}part 
de la sc{\`e}ne math{\'e}matique, restent encore {\`a} l'{\'e}tat embryonnaire: ``officiellement'' 
ils n'existent m{\^e}me pas, puisqu'aucune publication en bonne et du forme n'est l{\`a} 
pour leur tenir lieu de certificat de naissance\fnmark(*). Parmi les neuf th{\`e}mes appa\-%
\footnotetext{\fntag(*)% P 22 34--38
Le seul texte ``semi-officiel'' o{\`u} ces trois th{\`e}mes soient esquisses tant soit 
peut est l'Esquisse d'un Programme, r{\'e}dig{\'e} en janvier~1984 {\`a} l'occasion d'une 
demande de d{\'e}tachement au CNRS. Ce texte (dont il est question aussi dans 
l'Introduction~3, ``Boussole et Bagages'') sera inclus en principe dans le volume~4 
des R{\'e}flexions. 
}%
rus d{\`e}s avant mon d{\'e}part, les trois derniers, que j'avais laiss{\'e}s en plein essor, 
restent aujourd'hui encore {\`a} l'{\^e}tat d'enfance, faute (apr{\`e}s mon d{\'e}part) de mains 
aimantes pour pourvoir au n{\'e}cessaire de ces ``orphelins'', laiss{\'e}s pour compte dans 
un monde hostile\fnmark(**). Quant aux six autres th{\`e}mes, parvenus {\`a} pleine maturit{\'e} au 
\footnotetext{\fntag(**)% P 22 39--42
Apr{\`e}s enterrement sans tambour ni trompette de ces trois orphelins-l{\`a}, aux 
lendemains m{\^e}me de mon d{\'e}part, deux parmi eux se sont vus exhumer {\`a} grandes fan\-%
fares et sans mention de l'ouvrier, l'un en~1981 et l'autre (vu le succ{\`e}s sans 
bavures de l'op{\'e}ration) d{\`e}s l'ann{\'e}e d'apr{\`e}s. 
}%
cours des deux d{\'e}cennies pr{\'e}c{\'e}dant mon d{\'e}part, on peut dire ({\`a} une ou deux r{\'e}serves 
pr{\`e}s\fnmark(***)) qu'ils {\'e}taient d{\'e}j{\`a} d{\`e}s ce moment-l{\`a} entr{\'e}s dans le patrimoine commun: 
\footnotetext{\fntag(***)% P 22 43--46
Le ``{\`a} peu de choses pr{\`e}s'' concerne surtout le yoga grothendieckien de duali\-%
t{\'e} (cat{\'e}gories d{\'e}riv{\'e}es et six op{\'e}rations), et celui des topos. Il en sera ques\-%
tion de fa{\c c}on circonstanci{\'e}e (entre bien autres choses) dans les parties~II et~IV 
de R{\'e}coltes et Semailles (L'Enterrement~(1) et~(3)). 
}%
parmi la gent g{\'e}om{\`e}tre surtout, ``tout le monde'' de nos jours les entonne sans 
m{\^e}me plus le savoir (comme Monsieur Jourdain faisait de la prose), {\`a} longueur de 
journ{\'e}e et {\`a} tout moment. Ils font partie de l'air qu'on respire, quand on ``fait 
de la g{\'e}om{\'e}trie'', ou quand on fait de l'arithm{\'e}tique, de l'alg{\`e}bre ou de l'ana\-%
lyse tant soit peu ``g{\'e}om{\'e}triques''. 

% Page 0033 = P 23 1--31
\origpage{P 23}%
    Ces douze grands th{\`e}mes de mon {\oe}uvre ne sont nullement isol{\'e}s les uns des 
autres. Ils font partie {\`a} mes yeux d'une {\em unit{\'e}\/} d'esprit et de propos, pr{\'e}\-%
sente, telle une note de fond commune et persistante, {\`a} travers toute mon {\oe}uvre 
``{\'e}crite'' et ``non {\'e}crite''. Et en {\'e}crivant ces lignes, il m'a sembl{\'e} retrouver la 
m{\^e}me note encore --- comme un appel! --- {\`a} travers ces trois ann{\'e}es de travail 
``gratuit'', acharn{\'e} et solitaire, aux temps o{\`u} je ne m'{\'e}tais pas souci{\'e} encore de 
savoir s'il existait des math{\'e}maticiens au monde {\`a} part moi, tant j'{\'e}tais pris 
alors par la fascination de ce qui m'appelait\dots\ 

    Cette unit{\'e} n'est pas le fait seulement de la marque du m{\^e}me ouvrier, sur 
les {\oe}uvres qui sortent de ses mains. Ces th{\`e}mes sont li{\'e}s entre eux par d'innom\-%
brables liens, {\`a} la fois d{\'e}licats et {\'e}vidents, comme sont reli{\'e}s entre eux les 
diff{\'e}rents th{\`e}mes, clairement reconnaissables chacun, qui se d{\'e}ployent et s'enla\-%
cent dans un m{\^e}me et vaste contrepoint --- dans une harmonie qui les assemble, les 
porte en avant et donne {\`a} chacun un sens, un mouvement et une pl{\'e}nitude auxquels 
participent tous les autres. Chacun des th{\`e}mes partiels semble na{\^\i}tre de cette 
harmonie plus vaste et en rena{\^\i}tre {\`a} nouveau au fil des instants, bien plus que 
celle-ci n'appara{\^\i}t comme une ``somme'' ou comme un ``r{\'e}sultat'', de th{\`e}mes consti\-%
tuants qui pr{\'e}existeraient {\`a} elle. Et {\`a} dire vrai, je ne peux me d{\'e}fendre de ce 
sentiment (sans doute saugrenu\dots) que d'une certaine fa{\c c}on c'est bien cette har\-%
monie, non encore apparue mais qui s{\^u}rement ``existait'' d{\'e}j{\`a} bel et bien, quelque 
part dans le giron obscur des choses encore {\`a} na{\^\i}tre --- que c'est bien elle qui a 
suscit{\'e} tour {\`a} tour ces th{\`e}mes qui n'allaient prendre tout leur sens que par 
elle, et que c'est elle aussi qui d{\'e}j{\`a} m'appelait {\`a} voix basse et pressante, en 
ces ann{\'e}es de solitude ardente, au sortir de l'adolescence\dots\ 

    Toujours est-il que ces douze ma{\^\i}tre-th{\`e}mes de mon {\oe}uvre se trouvent bien 
tous, comme par une pr{\'e}destination secr{\`e}te, concourir {\`a} une m{\^e}me symphonie --- ou, 
pour reprendre une image diff{\'e}rente, ils se trouvent incarner autant de ``points 
de vue'' diff{\'e}rents, venant tous concourir {\`a} une m{\^e}me et vaste {\em vision}. 

    Cette vision n'a commenc{\'e} {\`a} {\'e}merger des brumes, {\`a} faire appara{\^\i}tre des 
contours reconnaissables, que vers les ann{\'e}es~1957, 58 --- des ann{\'e}es de gestation 
intense\fnmark(*). Chose {\'e}trange peut-{\^e}tre, cette vision {\'e}tait pour moi si proche, si 
\footnotetext{\fntagx(*)% P 23 32--39
L'ann{\'e}e 1957 est celle o{\`u} je suis amen{\'e} {\`a} d{\'e}gager le th{\`e}me {\em ``Riemann--%
Roch''} (version Grothendieck) --- qui, du jour au lendemain, me consacre 
``grande vedette''. C'est aussi l'ann{\'e}e de la mort de ma m{\`e}re, et par l{\`a}, celle 
d'une c{\'e}sure importante dans ma vie. C'est une des ann{\'e}es les plus intens{\'e}ment 
cr{\'e}atrices de ma vie, et non seulement au niveau math{\'e}matique. Cela faisait douze 
ans que la totalit{\'e} de mon {\'e}nergie {\'e}tait investie dans un travail math{\'e}matique. 
Cette ann{\'e}e-l{\`a} s'est fait jour le sentiment que j'avais {\`a} peu pr{\`e}s ``fait le tour'' 
de ce qu'est le travail math{\'e}matique, qu'il serait peut-{\^e}tre temps maintenant 
% P 24 1--21
de m'investir dans autre chose. C'{\'e}tait un besoin de renouvellement int{\'e}rieur, 
visiblement, qui faisait surface alors, pour la premi{\`e}re fois de ma vie. J'ai 
song{\'e} {\`a} ce moment {\`a} me faire {\'e}crivain, et pendant plusieurs mois j'ai cess{\'e} toute 
activit{\'e} math{\'e}matique. Finalement, j'ai d{\'e}cid{\'e} que je mettrai au moins encore noir 
sur blanc les travaux math{\'e}matiques que j'avais d{\'e}j{\`a} en train, histoire de quel\-%
ques mois sans doute, ou une ann{\'e}e {\`a} tout casser\dots\ 

    Le temps n'{\'e}tait pas m{\^u}r encore, sans doute, pour le grand saut. Toujours 
est-il qu'une fois repris le travail math{\'e}matique c'est lui qui m'a repris alors. 
Il ne m'a plus l{\^a}ch{\'e}, pendant douze autres ann{\'e}es encore! 

    L'ann{\'e}e qui a suivi cet interm{\`e}de (1958) est peut-{\^e}tre la plus f{\'e}conde de 
toutes dans ma vie de math{\'e}maticien. C'est en cette ann{\'e}e que se place l'{\'e}closion 
des deux th{\`e}mes centraux de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle, avec le d{\'e}marrage en force de 
la {\em th{\'e}orie des sch{\'e}mas\/} (sujet de mon expos{\'e} au congr{\`e}s inter\-%
national des math{\'e}maticiens {\`a} Edinburgh, l'{\'e}t{\'e} de cette m{\^e}me ann{\'e}e), et l'appa\-%
rition de la notion de {\em ``site''}, version technique provisoire de la notion 
cruciale de {\em topos}. Avec un recul de pr{\`e}s de trente ans, je peux dire mainte\-%
nant que c'est l'ann{\'e}e vraiment o{\`u} est n{\'e}e la vision de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle, 
dans le sillage des deux ma{\^\i}tre-outils de cette g{\'e}om{\'e}trie: les sch{\'e}mas (qui re\-%
pr{\'e}sentent une m{\'e}tamorphose de l'ancienne notion de ``vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique''), et les 
topos (qui repr{\'e}sentent une m{\'e}tamorphose, plus profonde encore, de la notion 
d'espace). 
}%
% Page 0034 = P 24 22--40
\origpage{P 24}%
``{\'e}vidente'', que jusqu'{\`a} il y a un an encore\fnmark(*), je n'avais song{\'e} {\`a} lui donner 
\footnotetext{\fntag(*)% P 24 41--43
Je songe pour la premi{\`e}re fois {\`a} donner un nom {\`a} cette vision dans la r{\'e}flexion 
du 4 d{\'e}cembre 1984, dans la sous-note (n$^\circ$~$136_1$) {\`a} la note ``Yin le Serviteur~(2) --- 
ou la g{\'e}n{\'e}rosit{\'e}'' (ReS~III, page~637). 
}%
un nom. (Moi dont une des passions pourtant a {\'e}t{\'e} de constamment {\em nommer\/} 
les choses qui se d{\'e}couvrent {\`a} moi, comme un premier moyen de les appr{\'e}hender\dots) 
Il est vrai que je ne saurais indiquer un moment particulier, qui aurait {\'e}t{\'e} 
v{\'e}cu comme le moment de l'apparition de cette vision, ou que je pourrais recon\-%
na{\^\i}tre comme tel avec le recul. Une vision nouvelle est une chose si vaste, que 
son apparition ne peut sans doute se situer {\`a} un moment particulier, mais qu'elle 
doit p{\'e}n{\'e}trer et prendre possession progressivement pendant de longues ann{\'e}es, 
si ce n'est sur des g{\'e}n{\'e}rations, de celui ou de ceux qui scrutent et qui contem\-%
plent; comme si des yeux nouveaux devaient laborieusement se former, derri{\`e}re 
les yeux familiers auxquels ils sont appel{\'e}s {\`a} se substituer peu {\`a} peu. Et la 
vision est trop vaste {\'e}galement pour qu'il soit question de la ``saisir'', comme 
on saisirait la premi{\`e}re notion venue apparue au tournant du chemin. C'est pour\-%
quoi sans doute il n'y a pas {\`a} s'{\'e}tonner, finalement, que la pens{\'e}e de nommer 
une chose aussi vaste, et si proche et si diffuse, ne soit apparue qu'avec le 
recul, une fois seulement que cette chose {\'e}tait parvenue {\`a} pleine maturit{\'e}. 

    A vrai dire, jusqu'{\`a} il y a deux ans encore ma relation {\`a} la math{\'e}matique 
se bornait (mis {\`a} part la t{\^a}che de l'enseigner) {\`a} en {\em faire\/} --- {\`a} suivre une 
pulsion qui sans cesse me tirait {\em en avant}, dans un ``inconnu'' qui 
% Page 0035 = P 25 1--27
\origpage{P 25}%
m'attirait sans cesse. L'id{\'e}e ne me s{\'e}rait pas venue de m'arr{\^e}ter dans cet 
{\'e}lan, de poser ne fut-ce que l'espace d'un instant, pour me retourner et voir 
se dessiner peut-{\^e}tre un chemin parcouru, voire m{\^e}me, pour situer une {\oe}uvre 
r{\'e}volue. (Que ce soit pour la situer {\em dans ma vie}, comme une chose 
{\`a} laquelle continuent {\`a} me relier des liens profonds et longtemps ignor{\'e}s; ou 
aussi, la situer dans cette aventure collective qu'est {\em ``la math{\'e}ma\-%
tique''}.) 

    Chose {\'e}trange encore, pour m'amener {\`a} ``poser'' enfin et {\`a} refaire connais\-%
sance avec cette {\oe}uvre {\`a} demi oubli{\'e}e, ou pour songer seulement {\`a} donner un 
{\em nom\/} {\`a} la vision qui en a {\'e}t{\'e} l'{\^a}me, il aura fallu que je me trouve confront{\'e} 
soudain {\`a} la r{\'e}alit{\'e} d'un Enterrement aux gigantesques proportions: {\`a} l'enter\-%
rement, par le silence et par la d{\'e}rision, et de la vision, et de l'ouvrier en 
qui elle {\'e}tait n{\'e}e\dots\ 

\bigbreak
\nno9. Sans l'avoir pr{\'e}vu, cet ``avant-propos'' a fini, de fil en aiguille, par 
devenir une sorte de pr{\'e}sentation en r{\`e}gle de mon {\oe}uvre, {\`a} l'intention (surtout) 
du lecteur non math{\'e}maticien. Trop engag{\'e} d{\'e}j{\`a} pour pouvoir encore reculer, il 
ne me reste plus qu'{\`a} terminer ``les pr{\'e}sentations''! Je voudrais essayer tant 
bien que mal de dire au moins quelques mots sur la {\em substance\/} de ces 
mirifiques ``grandes id{\'e}es'' (ou de ces ``ma{\^\i}tre-th{\`e}mes'') que j'ai fait miroiter dans 
les pages pr{\'e}c{\'e}dentes, et sur la nature de cette fameuse ``vision'' en quoi ces 
id{\'e}es ma{\^\i}tresses sont cens{\'e}es venir confluer. Faute de pouvoir faire appel {\`a} un 
langage tant soit peu technique, je ne pourrai sans doute que faire passer une 
image d'un flou extr{\^e}me (si tant est que quelque chose veuille bien ``passer'' 
en effet\dots)\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntag(*)% P 25 28--35
Que cette image doive rester ``floue'' n'emp{\^e}che nullement que cette image 
ne soit fid{\`e}le, et qu'elle ne restitue bel et bien quelque chose de l'essence 
de ce qui est regard{\'e} (en l'occurence, mon {\oe}uvre). Inversement, une image a beau 
{\^e}tre nette, elle peut fort bien {\^e}tre distordue, et de plus, n'inclure que l'acces\-%
soire et manquer enti{\`e}rement l'essentiel. Aussi, si tu ``accroches'' {\`a} ce que je 
vois {\`a} dire sur mon {\oe}uvre (et s{\^u}rement alors quelque chose de l'image en moi 
``passera'' bel et bien), tu pourras te flatter d'avoir mieux saisi ce qui fait 
l'essentiel dans mon {\oe}uvre, qu'aucun peut-{\^e}tre de mes savants coll{\`e}gues! 
}%

    Traditionnellement, on distingue trois types de ``qualit{\'e}s'' ou d'``aspects'' 
des choses de l'Univers, qui soient objet de la r{\'e}flexion math{\'e}matique: ce sont 
le {\em nombre\/}\fnmark(**), la {\em grandeur}, et la {\em forme}. On peut aussi 
\footnotetext{\fntag(**)% P 25 36--37
Il est entendu ici qu'il s'agit des ``nombres'' dits ``entiers naturels'' 0, 1, 
2, 3 etc, ou ({\`a} la rigueur) des nombres (tels les nombres fractionnaires) qui 
% P 26 1--4
s'expriment {\`a} l'aide de ceux-ci par des op{\'e}rations de nature {\'e}l{\'e}mentaire. Ces 
nombres ne se pr{\^e}tent pas, comme les ``nombres r{\'e}els'', {\`a} mesurer une grandeur 
susceptible de variation continue, telle la distance entre deux points variables 
sur une droite, dans un plan ou dans l'espace. 
}%
% Page 0036 = P 26 5--32
\origpage{P 26}%
les appeler l'aspect {\em ``arithm{\'e}tique}'', l'aspect {\em ``m{\'e}trique''} 
(ou ``analytique''), et l'aspect {\em ``g{\'e}om{\'e}trique''} des choses. Dans la 
plupart des situations {\'e}tudi{\'e}es dans l{\`a} math{\'e}matique, ces trois aspects sont pr{\'e}\-%
sents simultan{\'e}ment et en interaction {\'e}troite. Cependant, le plus souvent, il y 
a une pr{\'e}dominance bien marqu{\'e}e de l'un des trois. Il me semble que chez la plu\-%
part des math{\'e}maticiens, il est assez clair (pour ceux qui les connaissent, ou 
qui sont au courant de leur oeuvre) quel est leur temp{\'e}rament de base, s'ils sont 
``arithm{\'e}ticiens'', ``analystes'', ou ``g{\'e}om{\`e}tres'' --- et ceci, alors m{\^e}me qu'ils auraient 
beaucoup de cordes {\`a} leur violon, et qu'ils auraient travaill{\'e} dans tous les re\-%
gistres et diapasons imaginables. 

    Mes premi{\`e}res et solitaires r{\'e}flexions, sur la th{\'e}orie de la mesure et de 
l'int{\'e}gration, se placent sans ambigu{\"\i}t{\'e} possible dans la rubrique ``grandeur'', 
ou ``analyse''. Et il en est de m{\^e}me du premier des nouveaux th{\`e}mes que j'ai intro\-%
duits en math{\'e}matique (lequel m'appara{\^\i}t de dimensions moins vastes que les onze 
autres). Que je sois entr{\'e} dans la math{\'e}matique par le ``biais'' de l'analyse m'ap\-%
para{\^\i}t comme d{\^u}, non pas {\`a} mon temp{\'e}\-ra\-ment particulier, mais {\`a} ce qu'on peut 
appeler une ``circonstance fortuite'': c'est que la lacune la plus {\'e}norme, pour 
mon esprit {\'e}pris de g{\'e}n{\'e}ralit{\'e} et de rigueur, dans l'enseignement qui m'{\'e}tait pro\-%
pos{\'e} au lyc{\'e}e comme {\`a} l'universit{\'e}, se trouvait concerner l'aspect ``m{\'e}trique'' 
ou ``analytique'' des choses. 

    L'ann{\'e}e 1955 marque un tournant crucial dans mon travail math{\'e}matique: 
celui du passage de l'``analyse'' {\`a} la ``g{\'e}om{\'e}trie''. Je me rappelle encore de 
cette impression saisissante (toute subjective certes), comme si je quittais des 
steppes arides et rev{\^e}ches, pour me retrouver soudain dans une sorte de ``pays 
promis'' aux richesses luxuriantes, se multipliant {\`a} l'infini partout o{\`u} il plait 
{\`a} la main de se poser, pour cueillir ou pour fouiller\dots\ Et cette impression de 
richesse accablante, au del{\`a} de toute mesure\fnmark(*), n'a fait que se confirmer et 
\footnotetext{\fntag(*)% P 26 33--40
J'ai utilis{\'e} l'association de mots ``accablant, au del{\`a} de toute mesure'', pour 
rendre tant bien que mal l'expression an allemand ``{\"u}berw{\"a}ltigend'', et son {\'e}quiva\-%
lent en anglais ``overwhelming''. Dans la phrase pr{\'e}c{\'e}dente, l'expression (inad{\'e}\-%
quate) ``impression saisissante'' est {\`a} comprendre aussi avec cette nuance-l{\`a}: 
quand les impressions et sentiments suscit{\'e}s en nous par la confrontation {\`a} une 
splendeur, {\`a} une grandeur ou {\`a} une beaut{\'e} hors du commun, nous submergent soudain, 
au point que toute vell{\'e}it{\'e} d'exprimer ce que nous ressentons semble comme an{\'e}an\-%
tie d'avance. 
}%
s'approfondir au cours des ans, jusqu'{\`a} aujourd'hui m{\^e}me. 

% Page 0037 = P 27 1--38
\origpage{P 27}%
    C'est dire que s'il y a une chose en math{\'e}matique qui (depuis toujours 
sans doute) me fascine plus que toute autre, ce n'est ni ``le nombre'' , ni ``la 
grandeur'', mais toujours {\em la forme}. Et parmi les mille-et-un visages 
que choisit la forme pour se r{\'e}v{\'e}ler {\`a} nous, celui qui m'a fascin{\'e} plus que 
tout autre et continue {\`a} me fasciner, c'est {\em la structure\/} cach{\'e}e 
dans les choses math{\'e}matiques. 

    La structure d'une chose n'est nullement une chose que nous puissions 
``inventer''. Nous pouvons seulement la mettre {\`a} jour patiemment, humblement --- 
en faire connaissance, la {\em ``d{\'e}couvrir''}. S'il y a inventivit{\'e} dans ce 
travail, et s'il nous arrive de faire {\oe}uvre de forgeron ou d'infatigable b{\^a}tis\-%
seur, ce n'est nullement pour ``fa{\c c}onner'', ou pour ``b{\^a}tir'', des ``structures''. 
Celles-ci ne nous ont nullement attendues pour {\^e}tre, et pour {\^e}tre exactement ce 
qu'elles sont! Mais c'est pour {\em exprimer}, le plus fid{\`e}lement que nous 
le pouvons, ces choses que nous sommes en train de d{\'e}couvrir et de sonder, et 
cette structure r{\'e}ticente {\`a} se livrer, que nous essayons {\`a} t{\^a}tons, et par un lan\-%
gage encore balbutiant peut-{\^e}tre, {\`a} cerner. Ainsi sommes-nous amen{\'e}s {\`a} constam\-%
ment {\em ``inventer'' le langage\/} apte {\`a} exprimer de plus en plus 
finement la structure intime de la chose math{\'e}matique, et {\`a} ``construire'' {\`a} l'aide 
de ce langage, au fur et {\`a} mesure et de toutes pi{\`e}ces, les ``th{\'e}ories'' qui sont 
cens{\'e}es rendre compte de ce qui a {\'e}t{\'e} appr{\'e}hend{\'e} et vu. Il y a l{\`a} un mouvement 
de va-et-vient continuel, ininterrompu, entre {\em l'appr{\'e}hension\/} des 
choses, et l'{\em expression\/} de ce qui est appr{\'e}hend{\'e}, par un langage qui 
s'affine et se re-cr{\'e}e au fil du travail, sous la constante pression du besoin 
imm{\'e}diat. 

    Comme le lecteur l'aura sans doute devin{\'e}, ces ``th{\'e}ories'', ``construites 
de toutes pi{\`e}ces'', ne sont autres aussi que ces {\em ``belles maisons''} 
dont il a {\'e}t{\'e} question pr{\'e}c{\'e}demment: celles dont nous h{\'e}ritons de nos devanciers, 
et celles que nous sommes amen{\'e}s {\`a} b{\^a}tir de nos propres mains, {\`a} l'appel et {\`a} 
l'{\'e}coute des choses. Et si j'ai parl{\'e} tant{\^o}t de l'``inventivit{\'e}'' (ou de l'ima\-%
gination) du b{\^a}tisseur ou du forgeron, il me faudrait ajouter que ce qui en fait 
l'{\^a}me et le nerf secret, ce n'est nullement la superbe de celui qui dit: ``je 
veux ceci, et pas cela!'' et qui se complait {\`a} d{\'e}cider {\`a} sa guise; tel un pi{\`e}\-%
tre architecte qui aurait ses plans tout pr{\^e}ts en t{\^e}te, avant d'avoir vu et senti 
un terrain, et d'en avoir sond{\'e} les possibilit{\'e}s et les exigences. Ce qui fait 
la qualit{\'e} de l'inventivit{\'e} et de l'imagination du chercheur, c'est la 
{\em qualit{\'e} de son attention}, {\`a} l'{\'e}coute de la voix des 
choses. Car les choses de l'Univers ne se lassent jamais de parler d'elles-m{\^e}mes 
et de se r{\'e}v{\'e}ler, {\`a} celui qui se soucie d'entendre. Et la maison la plus belle, 
% Page 0038 = P 28 1--24
\origpage{P 28}%
celle en laquelle appara{\^\i}t l'amour de l'ouvrier, n'est pas celle qui est plus 
grande ou plus haute que d'autres. La belle maison est celle qui refl{\`e}te fid{\`e}le\-%
ment la structure et la beaut{\'e} cach{\'e}es des choses. 

\bigbreak
\nno10. Mais me voil{\`a} diverger encore --- je me proposais de parler de ma{\^\i}tre\correct{s}{}-%
th{\`e}mes, venant s'unir dans une m{\^e}me vision-m{\`e}re, comme autant de fleuves venant 
retourner {\`a} la Mer dont ils sont les fils\dots\ 

    Cette vaste vision unificatrice peut {\^e}tre d{\'e}crite comme une {\em g{\'e}om{\'e}\-%
trie nouvelle}. C'est celle, para{\^\i}t-il, dont Kronecker avait r{\^e}v{\'e}, 
au si{\`e}cle dernier\fnmark(*). Mais la r{\'e}alit{\'e} (qu'un r{\^e}ve hardi parfois fait pressentir 
\footnotetext{\fntag(*)% P 28 25--40
Je ne connais ce ``r{\^e}ve de Kronecker'' que par ou{\"\i}\correct{e }{-}dire, quand quelqu'un 
(peut-{\^e}tre bien que c'{\'e}tait John Tate) m'a dit que j'etais en train de r{\'e}aliser 
ce r{\^e}ve-l{\`a}. Dans l'enseignement que j'ai re{\c c}u de mes a{\^\i}n{\'e}s, les r{\'e}f{\'e}rences his\-%
toriques {\'e}taient rarissimes, et j'ai {\'e}t{\'e} nourri, non par la lecture d'auteurs 
tant soit peu anciens ni m{\^e}me contemporains, mais surtout par la communication, 
de vive voix ou par lettres interpos{\'e}es, avec d'autres math{\'e}maticiens, {\`a} commencer 
par mes a{\^\i}n{\'e}s. La principale, peut-{\^e}tre m{\^e}me la seule inspiration ext{\'e}rieure pour 
le soudain et vigoureux d{\'e}marrage de la th{\'e}orie des sch{\'e}mas en~1958, a {\'e}t{\'e} l'ar\-%
ticle de Serre bien connu sous le sigle~FAC (''Faisceaux alg{\'e}briques coh{\'e}rents''), 
paru quelques ann{\'e}es plus t{\^o}t. Celui-ci mis {\`a} part, ma principale inspiration 
dans le d{\'e}veloppement ult{\'e}rieur de la th{\'e}orie s'est trouv{\'e}e d{\'e}couler d'elle-m{\^e}me, 
et se renouveler au fil des ans, par les seules exigences de simplicit{\'e} et de 
coh{\'e}rence internes, dans un effort pour rendre compte dans ce nouveau contexte, 
de ce qui {\'e}tait ``bien connu'' en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique (et que j'assimilais au 
fur et {\`a} mesure qu'il se transformait entre mes mains), et de que ce ``connu'' me 
faisait pressentir. 
}%
ou entrevoir, et qu'il nous encourage {\`a} d{\'e}couvrir\dots) d{\'e}passe {\`a} chaque fois en 
richesse et en r{\'e}sonance le r{\^e}ve m{\^e}me le plus t{\'e}m{\'e}raire ou le plus profond. S{\^u}re\-%
ment, pour plus d'un des volets de cette g{\'e}om{\'e}trie nouvelle (si ce n'est pour 
tous), personne, la veille encore du jour o{\`u} il est apparu, n'y aurait song{\'e} --- 
l'ouvrier lui-m{\`e}me pas plus que les autres. 

    On peut dire que ``le nombre'' est apte {\`a} saisir la structure des agr{\'e}gats 
``discontinus'', ou {\em ``discrets''}: les syst{\`e}mes, souvent finis, form{\'e}s 
d'``{\'e}l{\'e}ments'' ou ``objets'' pour ainsi dire {\em isol{\'e}s\/} les uns par rapport aux 
autres, sans quelque principe de ``passage continu'' de l'un {\`a} l'autre. ``La gran\-%
deur'' par contre est la qualit{\'e} par excellence, susceptible de {\em ``varia\-%
tion continue''}; par l{\`a}, elle est apte {\`a} saisir les structures et 
ph{\'e}nom{\`e}nes continus: les mouvements, espaces, ``vari{\'e}t{\'e}s'' en tous genres, champs 
de force etc. Ainsi, l'arithm{\'e}tique appara{\^\i}t (grosso\correct{-}{ }modo) comme la 
{\em science des structures discr{\`e}tes}, et l'analyse, 
comme la {\em science des structures continues}. 

% Page 0039 = P 29 1--24
\origpage{P 29}%
    Quant {\`a} la g{\'e}om{\'e}trie, on peut dire que depuis plus de deux mille ans 
qu'elle existe sous forme d'une science au sens moderne du mot, elle est 
``{\`a} cheval'' sur ces deux types de structures, les ``discr{\`e}tes'' et les ``conti\-%
nues''\fnmark(*). Pendant longtemps d'ailleurs, il n'y avait pas vraiment ``divorce'', 
\footnotetext{\fntag(*)% P 29 25--40
A vrai dire, traditionnellement c'est l'aspect ``continu'' qui {\'e}tait au centre 
de l'attention du g{\'e}om{\`e}tre, alors que les propri{\'e}t{\'e}s de nature ``discr{\`e}te'', et no\-%
tamment les propri{\'e}t{\'e}s num{\'e}riques et combinatoires, {\'e}taient pass{\'e}es sous silence 
ou trait{\'e}es par dessous la jambe. C'est avec {\'e}merveillement que j'ai d{\'e}couvert, 
il y a une dizaine d'ann{\'e}es, la richesse de la th{\'e}orie combinatoire de l'icosa{\`e}\-%
dre, alors que ce th{\`e}me n'est pas m{\^e}me effleur{\'e} (et probablement, pas m{\^e}me vu) 
dans le classique livre de Klein sur l'icosa{\`e}dre. Je vois un autre signe frappant 
de cette n{\'e}gligence (deux fois mill{\'e}naire) des g{\'e}om{\`e}tres vis-{\`a}-vis des structu\-%
res discr{\`e}tes qui s'introduisent spontan{\'e}ment en g{\'e}om{\'e}trie: c'est que la notion 
de groupe (de sym{\'e}tries, notamment) ne soit apparue qu'au si{\`e}cle dernier, et que 
de plus, elle ait {\'e}t{\'e} d'abord introduite (par Evariste Galois) dans un contexte 
qui n'{\'e}tait pas consid{\'e}r{\'e} alors comme ressortissant de la ``g{\'e}om{\'e}trie''. Il est 
vrai que de nos jours encore, nombreux sont les alg{\`e}bristes qui n'ont toujours 
pas compris que la th{\'e}orie de Galois est bien, dans son essence, une {\em vision 
``g{\'e}om{\'e}trique''}, venant renouveler notre compr{\'e}hension des ph{\'e}nom{\`e}nes 
dits ``arithm{\'e}tiques''\dots\ 
}%
entre {\em deux\/} g{\'e}om{\'e}tries qui auraient {\'e}t{\'e} d'esp{\`e}ce diff{\'e}rente, l'une discr{\`e}te, 
l'autre continue. Plut{\^o}t, il y avait deux points de vue diff{\'e}rente dans l'investi\-%
gation des {\em m{\^e}mes\/} figures g{\'e}om{\'e}triques: l'un mettant l'accent sur les 
propri{\'e}t{\'e}s ``discr{\`e}tes'' (et notamment, les propri{\'e}t{\'e}s num{\'e}riques et combinatoires), 
l'autre sur les propri{\'e}t{\'e}s ``continues'' (telles que la position dans l'espace 
ambiant, ou la ``grandeur'' mesur{\'e}e en terme de distances mutuelles de ses points, 
etc). 

    C'est {\`a} la fin du si{\`e}cle dernier qu'un divorce est apparu, avec l'appari\-%
tion et le d{\'e}ve\-lop\-pe\-ment de ce qu'on a appel{\'e} parfois la {\em ``g{\'e}om{\'e}trie\/} 
(alg{\'e}brique) {\em abstraite''}. Grosso\correct{-}{ }modo, celle-ci a consist{\'e} {\`a} introduire, 
pour chaque nombre premier~$p$, une g{\'e}om{\'e}trie (alg{\'e}brique) ``de caract{\'e}ristique~$p$'', 
calqu{\'e}e sur le mod{\`e}le (continu) de la g{\'e}om{\'e}trie (alg{\'e}brique) h{\'e}rit{\'e}e des si{\`e}cles 
pr{\'e}c{\'e}dents, mais dans un contexte pourtant, qui apparaissait comme irr{\'e}ductible\-%
ment ``discontinu'', ``discret''. Ces nouveaux objets g{\'e}om{\'e}triques ont pris une 
importance croissante depuis les d{\'e}buts du si{\`e}cle, et ceci, tout particuli{\`e}rement, 
en vue de leurs relations {\'e}troites avec l'arithm{\'e}tique, la science par excellence 
de la structure discr{\`e}te. Il semblerait que ce soit une des id{\'e}es directrices 
dans l'{\oe}uvre d'{\em Andr{\'e} Weil\/}\fnmark(**), peut-{\^e}tre m{\^e}me la principale id{\'e}e-%
\footnotetext{\fntag(**)% P 29 41--44
Andr{\'e} Weil, math{\'e}maticien fran{\c c}ais {\'e}migr{\'e} aux Etats-Unis, est un des 
``membres fondateurs'' du ``groupe Bourbaki'', dont il sera pas mal question dans la 
premi{\`e}re partie de R{\'e}coltes et Semailles (ainsi d'ailleurs que de Weil lui-m{\^e}me, 
occasionnellement). 
}%
force (rest{\'e}e plus ou moins tacite dans son {\oe}uvre {\'e}crite, comme il se doit), 
que ``la'' g{\'e}om{\'e}trie (alg{\'e}brique), et tout particuli{\`e}rement les g{\'e}om{\'e}tries 
% Page 0040 = P 30 1--28
\origpage{P 30}%
``discr{\`e}tes'' associ{\'e}es aux diff{\'e}rents nombres premiers, devaient fournir la clef 
pour un renouvellement de vaste envergure de l'arithm{\'e}tique. C'est dans cet 
esprit qu'il a d{\'e}gag{\'e}, en~1949, les c{\'e}l{\`e}bres {\em ``conjectures de 
Weil''}. Conjectures absolument {\'e}poustouflantes, {\`a} vrai dire, qui faisaient 
entrevoir, pour ces nouvelles ``vari{\'e}t{\'e}s'' (ou ``espaces'') de nature discr{\`e}te, la 
possibilit{\'e} de certains types de constructions et d'arguments\fnmark(*) qui jusque l{\`a} 
\footnotetext{\fntag(*)% P 30 29--32
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien.) Il s'agit ici des ``constructions 
et arguments'' li{\'e}s {\`a} la th{\'e}orie cohomologique des vari{\'e}t{\'e}s diff{\'e}rentiables ou 
complex{\'e}s, et notamment de ceux impliquant la formule des points fixes de 
Lefschetz, et la th{\'e}orie de Hodge. 
}%
ne semblaient pensables que dans le cadre des seuls ``espaces'' consid{\'e}r{\'e}s comme 
dignes de ce nom par les analystes --- savoir, les espaces dits ``topologiques'' (o{\`u} 
la notion de variation continue a cours). 

    On peut consid{\'e}rer que la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle est avant toute autre chose, 
une {\em synth{\`e}se\/} entre ces deux mondes, jusque l{\`a} mitoyens et {\'e}troitement 
solidaires, mais pourtant s{\'e}par{\'e}s: le {\em monde ``arithm{\'e}tique''}, 
dans lequel vivent les (soi-disants) ``espaces'' sans principe de continuit{\'e}, et 
le {\em monde de la grandeur continue}, o{\`u} vivent les 
``espaces'' au sens propre du terme, accessibles aux moyens de l'analyste et (pour 
cette raison m{\^e}me) accept{\'e}s par lui comme dignes de giter dans la cit{\'e} math{\'e}ma\-%
tique. {\em Dans la vision nouvelle, ces deux 
mondes jadis s{\'e}par{\'e}s, n'en forment plus 
qu'un seul.} 

    Le premier embryon de cette vision d'une {\em ``g{\'e}om{\'e}trie arith\-%
m{\'e}tique''} (comme je propose d'appeler cette g{\'e}om{\'e}trie nouvelle) se trouve 
dans les conjectures de Weil. Dans le d{\'e}veloppement de certains de mes th{\`e}mes 
principaux\fnmark(**), ces conjectures sont rest{\'e}es ma principale source d'inspiration, 
\footnotetext{\fntag(**)% P 30 33--36
Il s'agit des quatre th{\`e}mes ``m{\'e}dians'' (n$^\circ$~5 {\`a}~8), savoir ceux des {\em topos\/}\correct{}{,} 
de la {\em cohomologie {\'e}tale\/} et $\ell$-adique, des {\em motifs}, et 
(dans une moindre mesure) celui des {\em cristaux}. J'ai d{\'e}gag{\'e} ces th{\`e}mes 
tour {\`a} tour entre~1958 et~1966. 
}%
tout au long des ann{\'e}es entre~1958 et~1969. D{\`e}s avant moi, d'ailleurs, 
{\em Oscar Zariski\/} d'un c{\^o}t{\'e}, puis {\em Jean-Pierre Serre\/} 
de l'autre, avaient d{\'e}velopp{\'e} pour les espaces-sans-foi-ni-loi de la g{\'e}om{\'e}trie 
alg{\'e}brique ``abstraite'' certaines m{\'e}thodes ``topologiques'', inspir{\'e}es de celles 
qui avaient cours pr{\'e}c{\'e}demment pour les ``espaces bon teint'' de tout le monde\fnmark(***), 
\footnotetext{\fntag(***)% P 30 37--41
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien.) La principale contribution de 
Zariski dans ce sens me para{\^\i}t l'introduction de la ``topologie de Zariski'' (qui 
plus tard a {\'e}t{\'e} un outil essentiel pour Serre dans FAC), et son ``principe de 
connexit{\'e}'' et ce qu'il a appel{\'e} sa ``th{\'e}orie des fonctions holomorphes'' --- devenus 
entre ses mains la th{\'e}orie des sch{\'e}mas formels, et les ``th{\'e}or{\`e}mes de comparaison'' 
% Page 0041 = P 31 1--15
entre le formel et l'alg{\'e}brique (avec, comme deuxi{\`e}me source d'inspiration, 
l'article fondamental GAGA de Serre). Quant {\`a} la contribution de Serre {\`a} laquelle 
je fais allusion dans le texte, il s'agit bien sur, avant tout, de l'introduction 
par lui, en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique abstraite, du point de vue des {\em faisceaux} 
(introduit par {\em Jean Leray\/} une douzaine d'ann{\'e}es auparavant, dans un 
conteste tout diff{\'e}rent), dans cet autre article fondamental d{\'e}j{\`a} cit{\'e}~FAC 
(``Faisceaux alg{\'e}briques coh{\'e}rents''). 

    A l{\`a} lumi{\`e}re de ces ``rappels'', si je devais nommer les ``anc{\^e}tres'' imm{\'e}diats 
de la nouvelle vision g{\'e}om{\'e}trique, ce sont les noms de {\em Oscar Zariski}, 
{\em Andr{\'e} Weil}, {\em Jean Leray\/} et {\em Jean-Pierre Serre} 
qui s'imposent {\`a} moi aussit{\^o}t. Parmi eux Serre a jou{\'e} un r{\^o}le {\`a} part, du fait 
que c'est par son interm{\'e}diaire surtout que j'ai eu connaissance non seulement 
de ses propres id{\'e}es, mais aussi des id{\'e}es de Zariski, de Weil et de Leray qui 
ont eu {\`a} jouer un r{\^o}le dans l'{\'e}closion et dans le d{\'e}veloppement de la g{\'e}om{\'e}trie 
nouvelle. 
}%
% Page 0041 = P 31 16--32
\origpage{P 31}%
Leurs id{\'e}es, bien s{\^u}r, ont jou{\'e} un r{\^o}le important lors de mes premiers pas dans 
l'{\'e}dification de la g{\'e}om{\'e}trie arithm{\'e}tique; plus, il est vrai, comme points de 
d{\'e}part et comme {\em outils\/} (qu'il m'a fallu refa{\c c}onner plus ou moins de 
toutes pi{\`e}ces, pour les besoins d'un contexte beaucoup plus vaste), que comme 
une source d'inspiration qui aurait continu{\'e} {\`a} nourrir mes r{\^e}ves et mes projets, 
au cours des mois et des ann{\'e}es. De toutes fa{\c c}ons, il {\'e}tait bien clair d'embl{\'e}e 
que, m{\^e}me refa{\c c}onn{\'e}s, ces outils {\'e}taient tr{\`e}s en de{\c c}{\`a} de ce qui {\'e}tait requis, 
pour faire m{\^e}me les tout premiers pas en direction des fantastiques conjectures. 

\bigbreak
\nno11. Les deux id{\'e}es-forces cruciales dans le d{\'e}marrage et dans le d{\'e}veloppement 
de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle, ont {\'e}t{\'e} celle de {\em sch{\'e}ma\/} et celle de {\em topos}. 
Apparues {\`a} peu pr{\`e}s simultan{\'e}ment et en {\'e}troite symbiose l'une avec l'autre\fnmark(*), 
\footnotetext{\fntag(*)% P 31 33--42
Il est question de ce d{\'e}marrage, qui se place en~1958, dans la note de b.~de 
p.~\fnmarkref{P 23-*}(*) page~\pgref{23}{P 23-*}. La notion de site ou de {\em ``topologie de 
Grothendieck''} (version provisoire de celle de topos) est apparue 
dans le sillage imm{\'e}diat de la notion da sch{\'e}ma. C'est elle {\`a} son tour qui four\-%
nit le langage nouveau de la ``localisation'' ou de ``la descente'', utilis{\'e} {\`a} chaque 
pas dans le d{\'e}veloppement du th{\`e}me et de l'outil sch{\'e}matiques. La notion plus 
intrins{\`e}que et plus g{\'e}om{\'e}trique de {\em topos}, rest{\'e}e d'abord implicite au cours 
des ann{\'e}es suivantes, se d{\'e}gage surtout {\`a} partir de~1963, avec le d{\'e}veloppement 
de la cohomologie {\'e}tale, et s'impose peu {\`a} peu {\`a} moi comme la notion la plus fon\-%
damentale. 
}%
elles ont {\'e}t{\'e} comme un seul et m{\^e}me {\em nerf moteur\/} dans l'essor spec\-%
taculaire de la nouvelle g{\'e}om{\'e}trie, et ceci d{\`e}s l'ann{\'e}e m{\^e}me de leur apparition. 
Pour terminer ce tour d'horizon sur mon {\oe}uvre, il me reste {\`a} dire quelque mots 
au sujet tout au moins de ces deux id{\'e}es-l{\`a}. 

    La notion de sch{\'e}ma est la plus naturelle, la plus ``{\'e}vidente'' imaginable, 
pour englober en une notion unique la s{\'e}rie infinie de notions de ``vari{\'e}t{\'e}'' 
% Page 0042 = P 32 1--35
\origpage{P 32}%
(alg{\'e}brique) qu'on maniait pr{\'e}c{\'e}demment ({\em une\/} telle notion pour chaque nombre 
premier\fnmark(*)\dots). De plus, un seul et m{\^e}me ``sch{\'e}ma'' (ou ``vari{\'e}t{\'e}'' nouveau style) 
\footnotetext{\fntag(*)% P 32 36--37
Il convient d'inclure dans cette s{\'e}rie {\'e}galement le cas $p=\infty$, correspon\-%
dant aux vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques ``de caract{\'e}ristique nulle''. 
}%
donne naissance, pour {\em chaque\/} nombre premier~$p$, {\`a} une ``vari{\'e}t{\'e} (alg{\'e}bri\-%
que) de caract{\'e}ristique~$p$'' bien d{\'e}termin{\'e}e. La collection de ces diff{\'e}rentes 
vari{\'e}t{\'e}s des diff{\'e}rentes caract{\'e}ristiques peut alors {\^e}tre visualis{\'e}e comme une 
sorte d'``{\'e}ventail (infini) de vari{\'e}t{\'e}s'' (une pour chaque caract{\'e}ristique). Le 
``sch{\'e}ma'' {\em est\/} cet {\'e}ventail magique, qui relie entre eux, comme autant de 
``branches'' diff{\'e}rentes, ses ``avatars'' ou ``incarnations'' de toutes les caract{\'e}\-%
ristiques possibles. Par l{\`a}-m{\^e}me, il fournit un efficace ``principe de passage'' 
pour relier entre elles des ``vari{\'e}t{\'e}s'', ressortissant de g{\'e}om{\'e}tries qui jusque 
l{\`a} {\'e}taient apparues comme plus ou moins isol{\'e}es, coup{\'e}es les unes des autres. 
A pr{\'e}sent, elles se trouvent englob{\'e}es dans une ``g{\'e}om{\'e}trie'' commune et reli{\'e}es 
par elle. On pourrait l'appeler la {\em g{\'e}om{\'e}trie sch{\'e}matique}, 
premi{\`e}re {\'e}bauche de cette ``g{\'e}om{\'e}trie arithm{\'e}tique'' en quoi elle allait s'{\'e}panouir 
dans les ann{\'e}es suivantes. 

    L'id{\'e}e m{\^e}me de sch{\'e}ma est d'une simplicit{\'e} enfantine --- si simple, si humble, 
que personne avant moi n'avait songe {\`a} se pencher si bas. Si ``b{\'e}b{\^e}te'' m{\^e}me, pour 
tout dire, que pendant des ann{\'e}es encore et en d{\'e}pit de l'{\'e}vidence, pour beaucoup 
de mes savants coll{\`e}gues, {\c c}a faisait vraiment ``pas s{\'e}rieux''! Il m'a fallu 
d'ailleurs des mois de travail serr{\'e} et solitaire, pour me convaincre dans mon 
coin que ``{\c c}a marchait'' bel et bien --- que le nouveau langage, tellement b{\'e}b{\^e}te, 
que j'avais l'incorrigible na{\"\i}vet{\'e} de m'obstiner {\`a} vouloir tester, {\'e}tait bel et 
bien ad{\'e}quat pour saisir, dans une lumi{\`e}re et avec une finesse nouvelles, et dans 
un cadre commun d{\'e}sormais, certaines des toutes premi{\`e}res intuitions g{\'e}om{\'e}triques 
attach{\'e}es aux pr{\'e}c{\'e}dentes ``g{\'e}om{\'e}tries de caract{\'e}ristique~$p$''. C'{\'e}tait le genre 
d'exercice, jug{\'e} d'avance idiot et sans espoir par toute personne ``bien inform{\'e}e'', 
que j'{\'e}tais le seul sans doute, parmi tous mes coll{\`e}gues et amis, {\`a} pouvoir 
avoir jamais id{\'e}e de me mettre en t{\^e}te, et m{\^e}me (m{\^u} par un d{\'e}mon secret\dots) par 
mener {\`a} bonne fin envers et contre tous! 

    Plut{\^o}t que de me laisser distraire par les consensus qui faisaient loi 
autour de moi, sur ce qui est ``s{\'e}rieux'' et ce qui ne l'est pas, j'ai {\em fait 
confiance\/} simplement, comme par le pass{\'e}, {\`a} l'humble voix des choses, 
et {\`a} cela en moi qui sait {\'e}couter. La r{\'e}compense a {\'e}t{\'e} imm{\'e}diate, et au del{\`a} de 
toute attente. En l'espace de ces quelques mois, sans m{\^e}me ``faire expr{\`e}s'', 
j'avais mis le doigt sur des outils puissants et insoup{\c c}onn{\'e}s. Ils m'ont permis, 
% Page 0043 = P 33 1--29
\origpage{P 33}%
non seulement de retrouver (comme en jouant) des r{\'e}sultats anciens, r{\'e}put{\'e}s 
ardus, dans une lumi{\`e}re plus p{\'e}n{\'e}trante et de les d{\'e}passer, mais aussi d'aborder 
enfin et de r{\'e}soudre des probl{\`e}mes de ``g{\'e}om{\'e}trie de caract{\'e}ristique~$p$'' qui jus\-%
que l{\`a} {\'e}taient apparus comme hors d'atteinte par tous les moyens alors connus\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntag(*)% P 33 30--37
Le compte rendu de ce ``d{\'e}marrage en force'' de la th{\'e}orie des sch{\'e}mas fait 
l'objet de mon expos{\'e} au Congr{\`e}s International des Math{\'e}maticiens {\`a} Edinburgh, en~%
1958. Le texte de cet expos{\'e} me semble une des meilleurs introductions au point 
de vue des sch{\'e}mas, de nature (peut-{\^e}tre) {\`a} motiver un lecteur g{\'e}om{\`e}tre {\`a} se fa\-%
miliariser tant bien que mal avec l'imposant trait{\'e} (ult{\'e}rieur) ``El{\'e}ments de 
G{\'e}om{\'e}trie Alg{\'e}brique'', exposant de fa{\c c}on circonstanci{\'e}e (et sans faire gr{\^a}ce 
d'aucun d{\'e}tail technique) les nouveaux fondements et les nouvelles techniques de 
la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique. 
}%

    Dans notre connaissance des choses de l'Univers (qu'elles soient math{\'e}ma\-%
tiques ou autres), le pouvoir r{\'e}novateur en nous n'est autre que l'{\em inno\-% 
cence}. C'est l'innocence originelle que nous avons tous re{\c c}ue en partage 
{\`a} notre naissance et qui repose en chacun de nous, objet souvent de notre m{\'e}pris, 
et de nos peurs les plus secr{\`e}tes. Elle seule unit l'humilit{\'e} et la hardiesse 
qui nous font p{\'e}n{\'e}trer au c{\oe}ur des choses, et qui nous permettent de laisser 
les choses p{\'e}n{\'e}trer en nous et de nous en impr{\'e}gner. 

    Ce pouvoir-l{\`a} n'est nullement le privil{\`e}ge de ``dons'' extraordinaires --- 
d'une puissance c{\'e}r{\'e}brale (disons) hors du commun pour assimiler et pour manier, 
avec dext{\'e}rit{\'e} et avec aisance, une masse impressionnante de faits, d'id{\'e}es et 
de techniques connus. De tels dons sont certes pr{\'e}cieux, dignes d'envie s{\^u}rement 
pour celui qui (comme moi) n'a pas et{\'e} combl{\'e} ainsi {\`a} sa naissance, ``au del{\`a} de 
toute mesure''. 

    Ce ne sont pas ces dons-l{\`a}, pourtant, ni l'ambition m{\^e}me la plus ardente, 
servie par une volont{\'e} sans failles, qui font franchir ces ``cercles invisibles 
et imp{\'e}rieux'' qui enferment notre Univers. Seule l'innocence les franchit, sans 
le savoir ni s'en soucier, en les instants o{\`u} nous nous retrouvons seul {\`a} l'{\'e}cou\-%
te des choses, intens{\'e}ment absorb{\'e} dans un jeu d'enfant\dots\ 

\bigbreak
\nno12. L'id{\'e}e novatrice du ``sch{\'e}ma'', nous venons de le voir, est celle qui permet 
de relier entre elles les diff{\'e}rentes ``g{\'e}om{\'e}tries'' associ{\'e}es aux diff{\'e}rents nom\-%
bres premiers (ou diff{\'e}rentes ``caract{\'e}ristiques''). Ces g{\'e}om{\'e}tries, pourtant, res\-%
taient encore chacune de nature essentiellement ``discr{\`e}te'' ou ``discontinue'', en 
contraste avec la g{\'e}om{\'e}trie traditionnelle l{\'e}gu{\'e}e par les si{\`e}cles pass{\'e}s (et 
remontant {\`a} Euclide). Les nouvelles id{\'e}es introduites par Zariski et par Serre 
restituaient dans une certaine mesure, pour ces g{\'e}om\correct{\`e}{\'e}tries, une ``dimension'' de 
% Page 0044 = P 34 1--34
\origpage{P 34}%
continuit{\'e}, h{\'e}rit{\'e}e aussit{\^o}t par la ``g{\'e}om{\'e}trie sch{\'e}matique'' qui venait d'appa\-%
ra{\^\i}tre, aux fins de les unir. Mais pour ce qui {\'e}tait des ``fantastiques conjec\-%
tures'' (de Weil), on {\'e}tait tr{\`e}s loin du compte. Ces ``topologies de Zariski'' 
{\'e}taient, de ce point de vue, {\`a} tel point grossi{\`e}res, que c'{\'e}tait quasiment comme 
si on en {\'e}tait rest{\'e} encore au stade des ``agr{\'e}gats discrets''. Ce qui manquait, 
visiblement, {\'e}tait quelque principe nouveau, qui permette de relier ces objets 
g{\'e}om{\'e}triques (ou ``vari{\'e}t{\'e}s'', ou ``sch{\'e}mas'') aux ``espaces'' (topologiques) habituels, 
ou ``bon teint''; ceux, disons, dont les ``points'' apparaissent comme nettement 
{\em s{\'e}par{\'e}s\/} les uns des autres, alors que dans les espaces-sans-foi-ni-loi 
introduits par Zariski, les points ont une f{\^a}cheuse tendance {\`a} s'agglutiner 
les uns aux autres\dots\ 

    C'{\'e}tait l'apparition d'un tel ``principe nouveau'' d{\'e}cid{\'e}ment, et rien de 
moins, qui pouvait faire se consommer ces ``{\'e}pousailles du nombre et de la gran\-%
deur'' ou de la ``g{\'e}om{\'e}trie du discontinu'' avec celle du ``continu'', dont un pre\-%
mier pressentiment se d{\'e}gageait des conjectures de Weil. 

    La notion d'{\em ``espace''} est sans doute une des plus anciennes en 
math{\'e}matique. Elle est si fondamentale dans notre appr{\'e}hension ``g{\'e}om{\'e}trique'' 
du monde, qu'elle est rest{\'e}e plus ou moins tacite pendant plus de deux mill{\'e}\-%
naires. C'est au cours du si{\`e}cle {\'e}coul{\'e} seulement que cette notion a fini, pro\-%
gressivement, par se d{\'e}tacher de l'emprise tyrannique de la perception imm{\'e}diate 
(d'un seul et m{\^e}me ``espace'' qui nous entoure), et de sa th{\'e}orisation tradition\-%
nelle (``euclidienne''), pour acqu{\'e}rir son autonomie et sa dynamique propres. 
De nos jours, elle fait partie des quelques notions les plus universellement 
et les plus couramment utilis{\'e}es en math{\'e}matique, famili{\`e}re sans doute {\`a} tout 
math{\'e}maticien sans exception. Notion protiforme d'ailleurs s'il en fut, aux cents 
et mille visages, selon le type de structures qu'on incorpore {\`a} ces espaces, 
depuis les plus riches de toutes (telles les v{\'e}n{\'e}rables structures ``euclidiennes'', 
ou les structures ``affines'' et ``projectives'' , ou encore les structures ``alg{\'e}bri\-%
ques'' des ``vari{\'e}t{\'e}s'' de m{\^e}me nom, qui les g{\'e}n{\'e}ralisent et qui assouplissent) jus\-%
qu'aux plus d{\'e}pouill{\'e}es: celles o{\`u} tout {\'e}l{\'e}ment d'information ``quantitatif'' 
quel qu'il soit semble disparu sans retour, et o{\`u} ne subsistent plus que la quin\-%
tessence qualitative de la notion de {\em ``proximit{\'e}''} ou de celle de 
{\em ``limite''}\fnmark(*), et la version la plus {\'e}lusive de l'intuition de la {\em forme\/} 
\footnotetext{\fntag(*)% P 34 35--37
Parlant de la notion de ``limite'', c'est surtout {\`a} celle de ``passage {\`a} la 
limite'' que je pense ici, plut{\^o}t qu'{\`a} celle (plus famili{\`e}re au non math{\'e}maticien) 
de ``fronti{\`e}re''. 
}%
(dit ``topologique''). La plus d{\'e}pouill{\'e}e de toutes parmi ces notions, celle qui 
% Page 0045 = P 35 1--23
\origpage{P 35}%
jusqu'{\`a} pr{\'e}sent, au cours du demi-si{\`e}cle {\'e}coul{\'e}, avait tenu lieu d'une sorte 
de vaste giron conceptuel commun pour englober toutes les autres, {\'e}tait celle 
d'{\em espace topologique}. L'{\'e}tude de ces espaces constitue 
l'une des branches les plus fascinantes, les plus vivaces de la g{\'e}om{\'e}trie: 
la {\em topologie}. 

    Si {\'e}lusif que puisse para{\^\i}tre de prime abord cette structure ``de qualit{\'e} 
pure'' incarn{\'e}e par un ``espace'' (dit ``topologique''), en l'absence de toute donn{\'e}e 
de nature quantitative (telle la distance entre deux points, notamment) qui nous 
permette de nous raccrocher {\`a} quelque intuition famili{\`e}re de ``grandeur'' ou de 
``petitesse'', on est pour\correct{}{t}ant arriv{\'e}, au cours du si{\`e}cle {\'e}coul{\'e}, {\`a} cerner finement 
ces espaces dans les mailles serr{\'e}es et souples d'un langage soigneusement 
``taill{\'e} sur pi{\`e}ces''. Mieux encore, on a invent{\'e} et fabriqu{\'e} de toutes pi{\`e}ces 
des sortes de ``m{\`e}tres'' ou de ``toises'' pour servir tout de m{\^e}me, envers et contre 
tout, {\`a} attacher des sortes de ``mesures'' (appel{\'e}es ``invariants topologiques'') {\`a} 
ces ``espaces'' tentaculaires qui semblaient se d{\'e}rober, telles des brumes insai\-%
sissables, {\`a} toute tentative de mensuration. Il est vrai que la plupart de ces 
invariants, et les plus essentiels, sont de nature plus subtile qu'un simple 
``nombre'' ou une ``grandeur'' --- ce sont plut{\^o}t eux-m{\^e}mes des structures math{\'e}mati\-%
ques plus ou moins d{\'e}licates, attach{\'e}es ({\`a} l'aide de constructions plus ou moins 
sophistiqu{\'e}es) {\`a} l'espace envisag{\'e}. L'un des plus anciens et des plus cruciaux 
de ces invariants, introduits d{\'e}j{\`a} au si{\`e}cle dernier (par le math{\'e}maticien 
italien {\em Betti\/}), est form{\'e} des diff{\'e}rents ``groupes'' (ou ``espaces'') dits de 
``cohomologie'', associ{\'e}s {\`a} l'espace\fnmark(*). Ce sont eux qui interviennent (surtout 
\footnotetext{\fntag(*)% P 35 24--43
A vrai dire, les invariants introduits par Betti {\'e}taient les invariants 
d'{\em homologie}. La {\em cohomologie\/} en constitue une version plus 
ou moins {\'e}quivalente, ``duale'', introduite beaucoup plus tard. Cet aspect a acquis 
une pr{\'e}{\'e}minence sur l'aspect initial, ``homologique'', surtout (sans doute) {\`a} la 
suite de l'introduction, par Jean Leray, du point de vue des faisceaux, dont il 
est question plus bas. Au point de vue technique, on peut dire qu'une grande par\-%
tie de mon {\oe}uvre de g{\'e}om{\`e}tre a consist{\'e} {\`a} d{\'e}gager, et {\`a} d{\'e}velopper plus ou 
moins loin, les th{\'e}ories cohomologiques qui manquaient, pour les espaces et va\-%
ri{\'e}t{\'e}s en tous genres et surtout, pour les ``vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques'' et les sch{\'e}mas. 
Chemin faisant, j'ai {\'e}t{\'e} amen{\'e} aussi {\`a} r{\'e}interpr{\'e}ter les invariants homologiques 
traditionnels en termes cohomologiques, et par l{\`a}-m{\^e}me, {\`a} les faire voir dans 
un jour enti{\`e}rement nouveau. 

    Il y a de nombreux autres ``invariants topologiques'' qui ont {\'e}t{\'e} introduits 
par les topologues, pour cerner tel type de propri{\'e}t{\'e}s ou tel autre des espaces 
topologiques. A part la ``dimension'' d'un espace, et les invariants (co)homologi\-%
ques, les premiers autres invariants sont les ``groupes d'homotopie''. J'en ai 
introduit un autre en~1957, le groupe (dit ``de Grothendieck'') $K(X)$, qui a connu 
aussit{\^o}t une grande fortune, et dont l'importance (tant en topologie qu'en arith\-%
m{\'e}tique) ne cesse de se confirmer. 

    Une foule de nouveaux invariants, de nature plus subtile que les invariants 
% P 36 1--14
actuellement connus et utilis{\'e}s, mais que je sens fondamentaux, sont pr{\'e}vus 
dans mon programme de ``topologie mod{\'e}r{\'e}e'' (dont une esquisse tr{\`e}s sommaire se 
trouve dans l'``Esquisse d'un Programme'', {\`a} para{\^\i}tre dans le volume~4 des 
R{\'e}flexions). Ce programme est bas{\'e} sur la notion de ``th{\'e}orie mod{\'e}r{\'e}e'' ou 
\correct{``d'}{d'``}espace mod{\'e}r{\'e}'', qui constitue, un peu comme celle de topos, une (deuxi{\`e}me) 
``m{\'e}tamorphose de la notion d'espace''. Elle est bien plus {\'e}vidente (me semble-t-%
il) et moins profonde que cette derni{\`e}re. Je pr{\'e}vois que ses retomb{\'e}es imm{\'e}diates 
sur la topologie ``proprement dite'' vont {\^e}tre pourtant nettement plus percutantes, 
et qu'elle va transformer de fond en comble le ``m{\'e}tier'' de topologue g{\'e}om{\`e}tre, 
par une transformation profonde du contexte conceptuel dans lequel il travaille. 
(Comme cela a {\'e}t{\'e} le cas aussi en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique avec l'introduction du 
point de vue des sch{\'e}mas.) J'ai d'ailleurs envoy{\'e} mon ``Esquisse'' {\`a} plusieurs 
de mes anciens amis et illustres topologues, mais il ne semble pas qu'elle ait 
eu le don d'en int{\'e}resser aucun\dots\  
}%
% Page 0046 = P 36 15--25
\origpage{P 36}%
``entre les lignes'', il est vrai) dans les conjectures de Weil, qui en font la 
``raison d'{\^e}tre'' profonde et qui (pour moi du moins, ``mis dans le bain'' par les 
explications de Serre) leur donnent tout leur sens. Mais la possibilit{\'e} d'asso\-%
cier de tels invariants aux vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques ``abst\correct{}{r}aites'' qui interviennent 
dans ces conjectures, de fa{\c c}on {\`a} r{\'e}pondre aux desiderata tr{\`e}s pr{\'e}cis exig{\'e}s pour 
les besoins de cette cause-l{\`a} --- c'{\'e}tait l{\`a} un simple espoir. Je doute qu'en 
dehors de Serre et de moi-m{\^e}me, personne d'autre (pas m{\^e}me, et surtout, 
Andr{\'e} Weil lui-m{\^e}me!\fnmark(*)) n'y croyait vraiment\dots\ 
\footnotetext{\fntag(*)% P 36 26--45
Chose paradoxale, Weil avait un ``bloc'' tenace, apparemment visc{\'e}ral, contre 
le formalisme cohomologique --- alors que ce sont en grande partie ses c{\'e}l{\`e}bres 
conjectures qui ont inspir{\'e} le d{\'e}veloppement des grandes th{\'e}ories cohomologiques 
en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique, {\`a} partir des ann{\'e}es~1955 (avec Serre donnant le coup 
d'envoi, avec son article fondamental~FAC, d{\'e}j{\`a} mentionn{\'e} dans une pr{\'e}c{\'e}dente 
note de bas de page). 

    Il me semble que ce ``bloc'' fait partie, chez Weil, d'une aversion g{\'e}n{\'e}rale 
contre tous les ``gros fourbis'', contre tout ce qui s'apparente {\`a} un formalisme 
(quand celui-ci ne peut se r{\'e}sumer en quelques pages), ou {\`a} une ``construction'' 
tant soit peu imbriqu{\'e}e. Il n'avait rien du ``b{\^a}tisseur'', certes, et c'est visible\-%
ment {\`a} son corps d{\'e}fendant qu'il s'est vu contraint, au cours des ann{\'e}es trente, 
{\`a} d{\'e}velopper les premiers fondements de g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique ``abstraits'' qui (vu 
ces dispositions) se sont r{\'e}v{\'e}l{\'e}es un v{\'e}ritable ``lit de Procruste'' pour l'usager. 

    Je ne sais s'il m'en a voulu d'{\^e}tre all{\'e} au del{\`a}, et de m'{\^e}tre investi {\`a} 
construire les vastes demeures, qui ont permis aux r{\^e}ves d'un Kronecker et au sien 
de s'incarner en un langage et en des outils d{\'e}licats et efficaces. Toujours est-il 
qu'{\`a} aucun moment il ne m'a fait un mot de commentaire au sujet du travail dans 
lequel il me voyait engag{\'e}, ou de celui qui {\'e}tait d{\'e}j{\`a} fait. Je n'ai pas non plus 
eu d'{\'e}cho {\`a} R{\'e}coltes et Semailles, que je lui avais envoy{\'e} il y a plus de trois 
mois, avec une d{\'e}dicace chaleureuse de ma main. 
}%

    Peu de temps avant, notre conception de ces invariants de cohomologie 
s'{\'e}tait d'ailleurs vue enrichir et renouveler profond{\'e}ment par les travaux de 
{\em Jean Leray\/} (poursuivis en captivit{\'e} en Allemagne, pendant la guerre, 
% Page 0047 = P 37 1--37
\origpage{P 37}%
dans la premi{\`e}re moiti{\'e} des ann{\'e}es quarante). L'id{\'e}e novatrice essentielle 
{\'e}tait celle de {\em faisceau\/} (ab{\'e}lien) sur un espace, auxquels Leray associe 
une suite de ``groupes de cohomologie'' correspondants (dits ``{\`a} coefficients dans 
ce faisceau''). C'{\'e}tait comme si le bon vieux ``m{\`e}tre cohomologique'' standard dont 
on disposait jusqu'{\`a} pr{\'e}sent pour ``arpenter'' un espace, s'{\'e}tait soudain vu mul\-%
tiplier en une multitude inimaginablement grande de nouveaux ``m{\`e}tres'' de toutes 
les tailles, formes et substances imaginabl{\'e}s, chacun intimement adapt{\'e} {\`a} l'espa\-%
ce en question, et dont chacun nous livre {\`a} son sujet des informations d'une pr{\'e}\-%
cision parfaite, et qu'il est seul {\`a} pouvoir nous donner. C'{\'e}tait l{\`a} l'id{\'e}e ma{\^\i}\-%
tresse dans une transformation profonde dans notre approche des espaces en tous 
genres, et s{\^u}rement une des id{\'e}es les plus cruciales apparues au cours de ce 
si{\`e}cle. Gr{\^a}ce surtout aux travaux ult{\'e}rieurs de Jean-Pierre Serre, les id{\'e}es de 
Leray ont eu comme premiers fruits, au cours de la d{\'e}cennie d{\'e}j{\`a} suivant leur 
apparition, un red{\'e}marrage impressionnant dans la th{\'e}orie des espaces topologi\-%
ques (et notamment, de leurs invariants dits ``d'homotopie'', intimement li{\'e}s {\`a} la 
cohomologie), et un autre red{\'e}marrage, non moins capital, de la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}\-%
brique dite ``abstraite'' (avec l'article fondamental ``FAC'' de Serre, paru en~%
1955). Mes propres travaux en g{\'e}om{\'e}trie, {\`a} partir de~1955, se placent en conti\-%
nuit{\'e} avec ces travaux de Serre, et par l{\`a} m{\^e}me, avec les id{\'e}es novatrices de 
Leray. 

\bigbreak
\nno13. Le point de vue et le langage des faisceaux introduit par Leray nous a ame\-%
n{\'e} {\`a} regarder les ``espaces'' et ``vari{\'e}t{\'e}s'' en tous genres dans une lumi{\`e}re nouvel\-%
le. Ils ne touchaient pas, pourtant, {\`a} la notion m{\^e}me d'espace, se contentant de 
nous faire appr{\'e}hender plus finement, avec des yeux nouveaux, ces traditionnels 
``espaces'', d{\'e}j{\`a} familiers {\`a} tous. Or, il s'est av{\'e}r{\'e} que cette notion d'espace 
est inad{\'e}quate pour rendre compte des ``invariants topologiques'' les plus essen\-%
tiels qui expriment la ``forme'' des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques ``abstraites'' (comme celles 
auxquelles s'appliquent les conjectures de Weil), voire celle des ``sch{\'e}mas'' g{\'e}n{\'e}\-%
raux (g{\'e}n{\'e}ralisant les anciennes vari{\'e}t{\'e}s). Pour les ``{\'e}pousailles'' attendues, 
``du nombre et de la grandeur'', c'{\'e}tait comme un lit d{\'e}cid{\'e}ment {\'e}triqu{\'e}, o{\`u} l'un 
seulement des futurs conjoints ({\`a} savoir, l'{\'e}pous{\'e}e) pouvait {\`a} la rigueur trouver 
{\`a} se nicher tant bien que mal, mais jamais des deux {\`a} la fois! Le ``principe nou\-%
veau'' qui restait {\`a} trouver, pour consommer les {\'e}pousailles promises par des f{\'e}es 
propices, ce n'{\'e}tait autre aussi que ce ``lit'' spacieux qui manquait aux futurs 
{\'e}poux, sans que personne jusque l{\`a} s'en soit seulement aper{\c c}u\dots\ 

    Ce ``lit {\`a} deux places'' est apparu (comme par un coup de baguette magique\dots) 
avec l'id{\'e}e du {\em topos}. Cette id{\'e}e englobe, dans une intuition topologique 
% Page 0048 = P 38 1--30
\origpage{P 38}%
commune, aussi bien les traditionnels espaces (topologiques), incarnant le monde 
de la grandeur continue, que les (soi-disant) ``espaces'' (ou ``vari{\'e}t{\'e}s'') des g{\'e}o\-%
m{\`e}tres alg{\'e}bristes abstraits imp{\'e}nitents, ainsi que d'innombrables autres types 
de structures, qui jusque l{\`a} avaient sembl{\'e} riv{\'e}es irr{\'e}m{\'e}diablement au ``monde 
arithm{\'e}tique'' des agr{\'e}gats ``discontinus'' ou ``discrets''. 

    C'est le point de vue des faisceaux qui a {\'e}t{\'e} le guide silencieux et s{\^u}r, 
la clef efficace (et nullement secr{\`e}te), ne menant sans atermoiements ni d{\'e}tours 
vers la chambre nuptiale au vaste lit conjugal. Un lit si vaste en effet (telle 
une vaste et paisible rivi{\`e}re tr{\`e}s profonde\dots), que
\begin{verse} 
``tous les chevaux du roi\\ 
y pourraient boire ensemble\dots''
\end{verse}
--- comme nous le dit un vieil air que s{\^u}rement tu as d{\^u} chanter toi aussi, ou au 
moins l'entendre chanter. Et celui qui a {\'e}t{\'e} le premier {\`a} le chanter a mieux 
senti la beaut{\'e} secr{\`e}te et la force paisible du topos, qu'aucun de mes savants 
{\'e}l{\`e}ves et amis d'antan\dots\  

    La clef a {\'e}t{\'e} la m{\^e}me, tant dans l'approche initiale et provisoire (via 
la notion tr{\`e}s commode, mais non intrins{\`e}que du ``site''), que dans celle du topos. 
C'est l'id{\'e}e du topos que je voudrais essayer {\`a} pr{\'e}sent de d{\'e}crire. 

    Consid{\'e}rons l'ensemble form{\'e} de {\em tous\/} les faisceaux sur un espace 
(topologique) donn{\'e}, ou, si on veut, cet arsenal prodigieux form{\'e} de {\em tous\/} 
ces ``m{\`e}tres'' servant {\`a} l'arpenter\fnmark(*). Nous consid{\'e}rons cet ``ensemble'' ou 
\footnotetext{\fntag(*)% P 38 31--36
(A l'intention du math{\'e}maticien) A vrai dire, il s'agit ici des faisceaux 
d'{\em ensembles}, et non des faisceaux {\em ab{\'e}liens}, introduits par Leray 
comme coefficients les plus g{\'e}n{\'e}raux pour former des ``groupes de cohomologie''. Je 
crois d'ailleurs {\^e}tre le premier {\`a} avoir travaill{\'e} syst{\'e}matiquement avec les fais\-%
ceaux d'ensembles ({\`a} partir de~1955, dans mon article ``A general theory of fibre 
spaces with structure sheaf'' {\`a} l'Universit{\'e} de Kansas). 
}%
``arsenal'' comme muni de sa structure la plus {\'e}vidente, laquelle y appara{\^\i}t, si on 
peut dire, ``{\`a} vue de nez''; {\`a} savoir, une structure dite de ``cat{\'e}gorie''. (Que le 
lecteur non math{\'e}maticien ne se trouble pas, de ne pas conna{\^\i}tre le sens techni\-%
que de ce terme. Il n'en aura nul besoin pour la suite.) C'est cette sorte de 
``superstructure d'arpentage'', appel{\'e}e ``cat{\'e}gorie des faisceaux'' (sur l'espace 
envisag{\'e}), qui sera dor{\'e}navant consid{\'e}r{\'e} comme ``incarnant'' ce qui est le plus 
essentiel {\`a} l'espace. C'est bien l{\`a} chose licite (pour le ``bon sens math{\'e}mati\-%
que''), car il se trouve qu'on peut ``reconstituer'' de toutes pi{\`e}ces un espace to\-%
pologique\fnmark(**) en termes de cette ``cat{\'e}gorie de faisceaux'' (ou de cet arsenal 
\footnotetext{\fntag(**)% P 38 37--40
(A l'intention du math{\'e}maticien) A strictement parler, ceci n'est vrai que 
pour des espaces dits ``sobres''. Ceux-ci comprennent cependant la quasi-totalit{\'e} 
des espaces qu'on rencontre commun{\'e}ment, et notamment tous les espaces ``s{\'e}par{\'e}s'' 
chers aux analystes. 
}%
% Page 0049 = P 39 1--32
\origpage{P 39}%
d'arpentage) associ{\'e}e. (De le v{\'e}rifier est un simple exercice --- une fois la 
question pos{\'e}e, certes\dots) Il n'en faut pas plus pour {\^e}tre assur{\'e} que (s'il nous 
convient pour une raison ou une autre) nous pouvons d{\'e}sormais ``oublier'' l'espace 
initial, pour ne plus retenir et ne nous servir que de la ``cat{\'e}gorie'' (ou de 
l'``arsenal'') associ{\'e}e, laquelle sera consid{\'e}r{\'e}e comme l'incarnation la plus ad{\'e}\-%
quate de la ``structure topologique'' (ou ``spatiale'') qu'il s'agit d'exprimer. 

    Comme si souvent en math{\'e}matique, nous avons r{\'e}ussi ici (gr{\^a}ce {\`a} l'id{\'e}e 
cruciale de ``faisceau'', ou de ``m{\`e}tre cohomologique'') {\`a} exprimer une certaine no\-%
tion (celle d'``espace'' en l'occurence) en termes d'une autre (celle de ``cat{\'e}go\-%
rie''), A chaque fois, la d{\'e}couverte d'une telle {\em traduction\/} d'une no\-%
tion (exprimant un certain type de situations) en termes d'une autre (correspon\-%
dant {\`a} un autre type de situations), enrichit notre compr{\'e}hension et de l'une et 
de l'autre notion, par la confluence inattendue des intuitions sp{\'e}cifiques qui se 
rapportent soit {\`a} l'une, soit {\`a} l'autre. Ainsi, une situation de nature ``topolo\-%
gique'' (incarn{\'e}e par un espace donn{\'e}) se trouve ici traduite par une situation de 
nature ``alg{\'e}brique'' (incarn{\'e}e par une ``cat{\'e}gorie''); ou, si on veut, le ``continu'' 
incarn{\'e} par l'espace, se trouve ``traduit'' ou ``exprim{\'e}'' par la structure de cat{\'e}go\-%
rie, de nature ``alg{\'e}brique'' (et jusque l{\`a} per{\c c}ue comme {\'e}tant de nature essentiel\-%
lement ``discontinue'' ou ``discr{\`e}te''). 

    Mais ici, il y a plus. La premi{\`e}re de ces notions, celle d'espace, nous 
{\'e}tait apparue comme une notion en quelque sorte ``maximale'' --- une notion si g{\'e}n{\'e}\-%
rale d{\'e}j{\`a}, qu'on imagine mal comment en trouver encore une extension qui reste 
``raisonnable''. Par contre, il se trouve que de l'autre c{\^o}t{\'e} du miroir\fnmark(*), ces 
\footnotetext{\fntag(*)% P 39 33--36
Le ``miroir'' dont il est question ici, comme dans Alice au pays des merveilles, 
eat celui qui donne comme ``image'' d'un espace, plac{\'e} devant lui, la ``cat{\'e}gorie'' 
associ{\'e}e, consid{\'e}r{\'e}e comme une sorte de ``double'' de l'espace, ``de l'autre c{\^o}t{\'e} 
du miroir''\dots  
}%
``cat{\'e}gories'' (ou ``arsenaux'') sur lesquels on tombe, en partant d'espaces topolo\-%
giques, sont de nature tr{\`e}s particuli{\`e}re. Elles jouissent en effet d'un ensemble 
de propri{\'e}t{\'e}s fortement typ{\'e}es\fnmark(**), qui les font s'apparenter {\`a} des sortes de 
\footnotetext{\fntag(**)% P 39 37--41
(A l'intention du math{\'e}maticien) Il s'agit ici surtout de propri{\'e}t{\'e}s que 
j'ai introduites en th{\'e}orie des cat{\'e}gories sous le nom de ``propri{\'e}t{\'e}s d'exacti\-%
tude'' (en m{\^e}me temps que la notion cat{\'e}gorique moderne de ``limites'' inductives et 
projectives g{\'e}n{\'e}rales). Voir ``Sur quelques points d'alg{\`e}bre homologique'', {\sl Tohoku 
math. journal}, 1957 (p.~119--221). 
}%
``pastiches'' de la plus simple imaginable d'entre elles --- celle qu'on obtient en 
partant d'un espace r{\'e}duit {\`a} un seul point. Ceci dit, un ``espace nouveau style\correct{}{''} 
(ou {\em topos}), g{\'e}n{\'e}ralisant les espaces topologiques traditionnels, sera d{\'e}\-%
crit tout simplement comme une ``cat{\'e}gorie'' qui, sans provenir forc{\'e}ment d'un 
espace ordinaire, poss{\`e}de n{\'e}anmoins toutes ces bonnes propri{\'e}t{\'e}s (explicitement 
d{\'e}sign{\'e}es une fois pour toutes, bien s{\^u}r) d'une telle ``cat{\'e}gorie de faisceaux''. 

\starskip
% Page 0050 = P 40 1--30
\origpage{P 40}%
    Voici donc l'id{\'e}e nouvelle. Son apparition peut {\^e}tre vue comme une cons{\'e}\-%
quence de cette observation, quasiment enfantine {\`a} vrai dire, que ce qui compte 
vraiment dans un espace topologique, ce ne sont nullement ses ``points'' ou ses 
sous-ensembles de points\fnmark(*), et les relations de proximit{\'e} etc entre ceux-ci, 
\footnotetext{\fntag(*)% P 40 31--32
Ainsi, on peut construire des topos tr{\`e}s ``gros'', qui n'ont qu'un seul ``point'', 
ou m{\^e}me pas de ``points'' du tout!  
}%
mais que ce sont les {\em faisceaux\/} sur cet espace, et la {\em cat{\'e}gorie\/} 
qu'ils forment. Je n'ai fait, en somme, que mener vers sa cons{\'e}quence ultime 
l'id{\'e}e initiale de Leray --- et ceci fait, {\em franchir le pas}. 

    Comme l'id{\'e}e m{\^e}me des faisceaux (due {\`a} Leray), ou celle des sch{\'e}mas, comme 
toute ``grande id{\'e}e'' qui vient bousculer une vision inv{\'e}t{\'e}r{\'e}e des choses, celle 
des topos {\`a} de quoi d{\'e}concerter par son caract{\`e}re de naturel, d'``{\'e}vidence'', par 
sa simplicit{\'e} ({\`a} la limite, dirait-on, du na{\"\i}f ou du simpliste, voire du ``b{\'e}b{\`e}te'') 
--- par cette qualit{\'e} particuli{\`e}re qui nous fait nous {\'e}crier si souvent: ``Oh, ce 
n'est que {\c c}a!'', d'un ton mi-d{\'e}{\c c}u, mi-envieux; avec en plus, peut-{\^e}tre, ce 
sous entendu du ``farfelu'', du ``pas s{\'e}rieux'', qu'on r{\'e}serve souvent {\`a} tout ce qui 
d{\'e}route par un exc{\`e}s de simplicit{\'e} impr{\'e}vue. A ce qui vient nous rappeler, peut-%
{\^e}tre, les jours depuis longtemps enfouis et reni{\'e}s de notre enfance\dots\  

\bigbreak
\nno14. La notion de sch{\'e}ma constitue un vaste {\'e}largissement de la notion de 
``vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique'', et {\`a} ce titre elle a renouvel{\'e} de fond en comble la g{\'e}om{\'e}\-%
trie alg{\'e}brique l{\'e}gu{\'e}e par mes devanciers. Celle de topos constitue une extension 
insoup{\c c}onn{\'e}e, pour mieux dire, {\em une m{\'e}tamorphose de la 
notion d'espace}. Par l{\`a}, elle porte la promesse d'un renouvelle\-%
ment semblable de la topologie, et au del{\`a} de celle-ci, de la g{\'e}om{\'e}trie. D{\`e}s {\`a} 
pr{\'e}sent d'ailleurs, elle a jou{\'e} un r{\^o}le crucial dans l'essor de la g{\'e}om{\'e}trie nou\-%
velle (surtout {\`a} travers les th{\`e}mes cohomologiques $\ell$-adique et cristallin qui en 
sont issus, et {\`a} travers eux, dans la d{\'e}monstration des conjectures de Weil). 
Comme sa s{\oe}ur a{\^\i}n{\'e}e (et quasi-jumelle), elle poss{\`e}de les deux caract{\`e}res compl{\'e}\-%
mentaires essentiels pour toute g{\'e}n{\'e}ralisation fertile, que voici. 

    Primo, la nouvelle notion n'est {\em pas trop vaste}, en ce sens 
que dans les nouveaux ``espaces'' (appel{\'e}s plut{\^o}t ``topos'', pour ne pas indisposer 
des oreilles d{\'e}licates\fnmark(**)), les intuitions et les constructions ``g{\'e}om{\'e}triques'' 
\footnotetext{\fntag(**)% P 40 33--34
Le nom ``topos'' a {\'e}t{\'e} choisi (en association avec celui de ``topologie'', ou 
``topologique'') pour sugg{\'e}rer qu'il s'agit de ``l'objet par excellence'' auquel 
% P 41 1--6
s'applique l'intuition topologique. Par le riche nuage d'images mentales que ce 
nom suscite, il faut le consid{\'e}rer comme {\'e}tant plus ou moins l'{\'e}quivalent du 
terme ``espace'' (topologique), avec simplement une insistance plus grande sur la 
sp{\'e}cifit{\'e} ``topologique'' de la notion. (Ainsi, il y a des ``espaces vectoriels'', 
mais pas de ``topos vectoriels'' jusqu'{\`a} nouvel ordre!) Il s'impose de garder les 
deux expressions conjointement, chacune avec sa sp{\'e}cifit{\'e} propre. 
}%
% Page 0051 = P 41 7--34
\origpage{P 41}%
les plus essentielles\fnmark(*), famili{\`e}res pour les bons vieux espaces d'antan, peu\-%
\footnotetext{\fntag(*)% P 41 35--38
Parmi ces ``constructions'', il y a notamment celle de tous les ``invariants 
topologiques'' familiers, y compris les invariants cohomologiques. Pour ces der\-%
niers, j'avais fait tout ce qu'il fallait dans l'article d{\'e}j{\`a} cit{\'e} (``Tohoku''~%
1955), pour pouvoir leur donner un sens pour tout ``topos''. 
}%
vent se transposer de fa{\c c}on plus ou moins {\'e}vidente. Autrement dit, on dispose 
pour les nouveaux objets de toute la riche gamme des images et associations men\-%
tales, des notions et de certaines au moins de techniques, qui pr{\'e}c{\'e}demment res\-%
taient restreintes aux objets ancien style. 

    Et secundo, la nouvelle notion est en m{\^e}me temps {\em assez vaste\/} 
pour englober une foule de situations qui, jusque l{\`a}, n'{\'e}taient pas consid{\'e}r{\'e}es 
comme donnant lieu {\`a} des intuitions de nature ``topologico-g{\'e}om{\'e}trique'' --- aux 
intuitions, justement, qu'on avait r{\'e}serv{\'e}es par le pass{\'e} aux seuls espaces topo\-%
logiques ordinaires (et pour cause\dots). 

    La chose cruciale ici, dans l'optique des conjectures de Weil, c'est que 
la nouvelle notion est asses vaste en effet, pour nous permettre d'associer {\`a} 
tout ``sch{\'e}ma'' un tel ``espace g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}'' ou ``topos'' (appel{\'e} le ``topos {\'e}tale'' 
du sch{\'e}ma envisag{\'e}). Certains ``invariants cohomologiques'' de ce topos (tout ce 
qu'il y a de ``b{\'e}b{\^e}tes''!) semblaient alors avoir une bonne chance de fournir 
``ce dont on avait besoin'' pour donner tout leur sens {\`a} ces conjectures, et (qui 
sait!) de fournir peut-{\^e}tre les moyens de les d{\'e}montrer. 

    C'est dans ces pages que je suis en train d'{\'e}crire que, pour la premi{\`e}re 
fois dans ma vie de math{\'e}maticien, je prends la loisir d'{\'e}voquer (ne serait-ce 
qu'{\`a} moi-m{\^e}me) l'ensemble des ma{\^\i}tre-th{\`e}mes et des grandes id{\'e}es directrices dans 
mon {\oe}uvre math{\'e}matique. Cela m'am{\`e}ne {\`a} mieux appr{\'e}cier la place et la port{\'e}e de 
chacun de ces th{\`e}mes, et des ``points de vue'' qu'ils incarnent, dans la grande 
vision g{\'e}om{\'e}trique qui les unit et dont ils sont issus. C'est par ce travail que 
sont apparues en pleine lumi{\`e}re les deux id{\'e}es novatrices n{\'e}vralgiques dans le 
premier et puissant essor de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle: l'id{\'e}e des {\em sch{\'e}mas}, 
et celle des {\em topos}. 

    C'est la deuxi{\`e}me de ces id{\'e}es, celle des topos, qui {\`a} pr{\'e}sent m'appara{\^\i}t 
% Page 0052 = P 42 1--27
\origpage{P 42}%
comme la plus profonde des deux. Si d'aventure, vers la fin des ann{\'e}es cinquante, 
je n'avais {\em pas\/} retrouss{\'e} m{\'e}s manches, pour d{\'e}velopper obstin{\'e}ment jour apr{\`e}s 
jour, tout au long de douze longues ann{\'e}es, un ``outil sch{\'e}matique'' d'une d{\'e}lica\-%
tesse et d'une puissance parfaites --- il me semblerait quasiment impensable pour\-%
tant que dans les dix ou vingt ans d{\'e}j{\`a} qui ont suivi, d'autres que moi auraient 
pu {\`a} la longue s'emp{\^e}cher d'introduire {\`a} la fin des fins (fut-ce {\`a} leur corps 
d{\'e}fendant\dots) la notion qui visiblement s'imposait, et de dresser tant bien que 
mal tout au moins quelques v{\'e}tustes baraquements en ``pr{\'e}fab'', {\`a} d{\'e}faut des spa\-%
cieuses et confortables demeures que j'ai eu {\`a} c{\oe}ur d'assembler pierre par pierre 
et de monter de mes mains. Par contre, je ne vois personne d'autre sur la sc{\`e}ne 
math{\'e}matique, au cours des trois d{\'e}cennies {\'e}coul{\'e}es, qui aurait pu avoir cette 
na{\"\i}vet{\'e}, ou cette innocence, de faire ({\`a} ma place) cet {\em autre\/} pas crucial 
entre tous, introduisant l'id{\'e}e si enfantine des topos (ou ne serait-ce que 
celle des ``sites''). Et, {\`a} supposer m{\^e}me cette id{\'e}e-l{\`a} d{\'e}j{\`a} gracieusement fournie, 
et avec elle la timide promesse quelle semblait receler --- je ne vois personne 
d'autre, que ce soit parmi mes amis d'antan ou parmi mes {\'e}l{\`e}ves, qui aurait eu 
le souffle, et surtout la {\em foi}, pour mener {\`a} terme cette humble id{\'e}e\fnmark(*) (si 
\footnotetext{\fntag(*)% P 42 28--41
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien.) Quand je parle de ``mener {\`a} terme 
cette humble id{\'e}e'', il s'agit de l'id{\'e}e de la cohomologie {\'e}tale comme approche 
vers les conjectures de Weil. C'est inspir{\'e} par ce propos que j'avais d{\'e}couvert 
la notion de site en~1958, et que cette notion (ou la notion tr{\`e}s voisine de 
topos), et le formalisme cohomologique {\'e}tale, ont {\'e}t{\'e} d{\'e}velopp{\'e} entre~1962 et~1966 
sous mon impulsion (avec l'assistance de quelques collaborateurs dont il sera 
question en lieu). 

    Quand je parle de ``souffle'' et de ``foi'', il s'agit l{\`a} des qualit{\'e}s de nature 
``non-technique'', et qui ici m'apparaissent bien comme les qualit{\'e}s essentielles. 
A un autre niveau, je pourrais y ajouter aussi ce que j'appellerais le ``flair 
cohomologique'', c'est-{\`a}-dire le genre de flair qui s'{\'e}tait d{\'e}velopp{\'e} en moi pour 
l'{\'e}dification des th{\'e}ories cohomologiques. J'avais cru le communiquer {\`a} mes {\'e}l{\`e}ves 
cohomologistes. Avec un recul de dix-sept ans apr{\`e}s mon d{\'e}part du monde math{\'e}ma\-%
tique, je constate qu'il ne s'est conserv{\'e} en aucun d'eux. 
}%
d{\'e}risoire en apparence, alors que le but semblait infiniment lointain\dots): 
depuis ses premiers d{\'e}buts balbutiants, jusqu'{\`a} la pleine maturit{\'e} de la ``ma{\^\i}trise 
de la cohomologie {\'e}tale'', en quoi elle a fini par s'incarner entre mes mains, au 
cours des ann{\'e}es qui ont suivi. 

\bigbreak
\nno15. Oui, la rivi{\`e}re est profonde, et vastes et paisibles sont les eaux de mon 
enfance, dans un royaume que j'ai cr{\^u} quitter il y a longtemps. Tous les chevaux 
du roi y pourraient boire ensemble {\`a} l'aise et tout leur sao{\^u}l, sans les {\'e}puiser! 
Elles viennent des glaciers, ardentes comme ces neiges lointaines, et elles ont 
la douceur de la glaise des plaines. Je viens de parler d'un de ces chevaux, qu'un 
enfant avait amen{\'e} boire et qui a bu son content, longuement. Et j'en ai vu un 
% Page 0053 = P 43 1--38
\origpage{P 43}%
autre venant boire un moment, sur les traces du m{\^e}me gamin si {\c c}a se trouve --- 
mais l{\`a} {\c c}a n'a pas tra{\^\i}n{\'e}. Quelqu'un a d{\^u} le chasser. Et c'est tout, autant dire. 
Je vois pourtant des troupeaux innombrables de chevaux assoiff{\'e}s qui errent dans 
la plaine --- et pas plus tard que ce matin m{\^e}me leurs hennissements m'ont tir{\'e} 
du lit, {\`a} une heure indue, moi qui vais sur mes soixante ans et qui aime la 
tranquillit{\'e}. Il n'y a rien eu {\`a} faire, il a fallu que je me l{\`e}ve. {\c C}a me fait 
peine de les voir, {\`a} l'{\'e}tat de rosses efflanqu{\'e}es, alors que la bonne eau pourtant 
ne manque pas, ni les verts p{\^a}turages. Mais on dirait qu'un sortil{\`e}ge malveillant 
a {\'e}t{\'e} jet{\'e} sur cette contr{\'e}e que j'avais connue accueillante, et condamn{\'e} 
l'acc{\`e}s {\`a} ces eaux g{\'e}n{\'e}reuses. Ou peut-{\^e}tre est-ce un coup mont{\'e} par les maqui\-%
gnons du pays, pour faire tomber les prix qui sait? Ou c'est un pays peut-{\^e}tre 
o{\`u} il n'y a plus d'enfants pour mener boire les chevaux, et o{\`u} les chevaux ont 
soif, faute d'un gamin qui retrouve le chemin qui m{\`e}ne {\`a} la rivi{\`e}re\dots\ 

\bigbreak
\nno16. Le th{\`e}me du topos est issu de celui des sch{\'e}mas, l'ann{\'e}e m{\^e}me o{\`u} sont appa\-%
rus les sch{\'e}mas --- mais en {\'e}tendue il d{\'e}passe largement le th{\`e}me-m{\`e}re. C'est le 
th{\`e}me du topos, et non celui des sch{\'e}mas, qui est ce ``lit'', ou cette ``rivi{\`e}re 
profonde'', o{\`u} viennent s'{\'e}pouser la g{\'e}om{\'e}trie et l'alg{\`e}bre, la topologie et 
l'arithm{\'e}tique, la logique math{\'e}matique et la th{\'e}orie des cat{\'e}gories, le monde 
du continu et celui des structures ``discontinues'' ou ``discr{\`e}tes''. Si le th{\`e}me des 
sch{\'e}mas est comme le {\em c{\oe}ur} de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle, le th{\`e}me du topos en 
est l'enveloppe, ou la {\em demeure}. Il est ce que j'ai con{\c c}u de plus vaste, 
pour saisir avec finesse, par un m{\^e}me langage riche an r{\'e}sonances g{\'e}om{\'e}triques, 
une ``essence'' commune {\`a} des situations des plus {\'e}loign{\'e}es les unes des autres, 
provenant de telle r{\'e}gion ou de telle autre du vaste univers des choses math{\'e}ma\-%
tiques. 

    Ce th{\`e}me du topos est tr{\`e}s loin pourtant d'avoir connu la fortune de celui 
des sch{\'e}mas. Je m'exprime {\`a} ce sujet an diverses occasions dans R{\'e}coltes et 
Semailles, et ce n'est pas le lieu ici de m'attarder sur les vicissitudes {\'e}tran\-%
ges qui ont frapp{\'e} cette notion. Deux des ma{\^\i}tres-th{\`e}mes de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle 
sont pourtant issus de celui du topos, deux ``th{\'e}ories cohomologiques'' compl{\'e}men\-%
taires, con{\c c}ues l'une et l'autre aux fins de fournir une approche vers les conjec\-%
tures de Weil: le {\em th{\`e}me {\'e}tale\/} (ou {\em ``$\ell$-adique''}), et le 
{\em th{\`e}me cristallin}. Le premier s'est concr{\'e}tis{\'e} entre mes mains en 
l'outil cohomologique $\ell$-adique, qui d{\`e}s {\`a} pr{\'e}sent appara{\^\i}t comme un des plus puis\-%
sants outils math{\'e}matiques du si{\`e}cle. Quant au th{\`e}me cristallin, r{\'e}duit apr{\`e}s mon 
d{\'e}part {\`a} une existence quasi-occulte, il a finalement {\'e}t{\'e} exhum{\'e} (sous la pression 
des besoins) en juin~1981, sous les feux de la rampe et sous un nom d'emprunt, 
dans des circonstances plus {\'e}tranges encore que celles autour des topos. 

% Page 0054 = P 44 1--23
\origpage{P 44}%
    L'outil cohomologique $\ell$-adique a {\'e}t{\'e}, comme pr{\'e}vu, l'outil essentiel pour 
{\'e}tablir les conjectures de Weil. J'en ai d{\'e}montr{\'e} moi-m{\^e}me un bon paquet, et le 
dernier pas a {\'e}t{\'e} accompli avec maestria, trois ans apr{\`e}s mon d{\'e}part, par 
Pierre Deligne, le plus brillant de mes {\'e}l{\`e}ves ``cohomologistes''. 

    J'avais d'ailleurs d{\'e}gag{\'e}, vers l'ann{\'e}e 1968, une version plus forte et 
surtout, plus ``g{\'e}om{\'e}trique'' des conjectures de Weil. Celles-ci restaient 
``entach{\'e}es'' (si on peut dire!) d'un aspect ``arith\-m{\'e}\-tique'' apparemment irr{\'e}duc\-%
tible, alors pourtant que l'esprit m{\^e}me de ces conjectures est d'exprimer et de 
saisir ``l'arithm{\'e}tique'' (ou ``le discret'') par la m{\'e}diation du ``g{\'e}om{\'e}trique'' 
(ou du ``continu'')\fnmark(*). En ce sens, la version des conjectures que j'avais d{\'e}ga\-%
\footnotetext{\fntag(*)% P 44 24--31
(A l'intention du math{\'e}maticien) Les conjectures de Weil sont subordonn{\'e}es 
{\`a} des hypoth{\`e}ses de nature ``arithm{\'e}tique'', du fait notamment que les vari{\'e}t{\'e}s 
envisag{\'e}es doivent {\^e}tre d{\'e}finies sur un corps {\em fini}. Du point de vue du for\-%
malisme cohomologique, cela conduit {\`a} donner une place {\`a} part {\`a} {\em l'endomorphisme 
de Frobenius\/} associ{\'e} {\`a} une telle situation. Dans 
mon approche, les propri{\'e}t{\'e}s cruciales (type ``th{\'e}or{\`e}me de l'index g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}'') 
concernent les correspondances alg{\'e}briques {\em quelconques}, et ne font 
aucune hypoth{\`e}se de nature arithm{\'e}tique sur un corps de base pr{\'e}alablement donn{\'e}. 
}%
g{\'e}e me para{\^\i}t plus ``fid{\`e}le'' que celle de Weil lui-m{\^e}me {\`a} la ``philosophie de 
Weil'' --- {\`a} cette philosophie non {\'e}crite et rarement dite, qui a {\'e}t{\'e} peut-{\^e}tre 
{\em la\/} principale motivation tacite dans l'extraordinaire essor de la g{\'e}om{\'e}trie au 
cours des quatre d{\'e}cennies {\'e}coul{\'e}es\fnmark(**). Ma reformulation a consist{\'e}, pour 
\footnotetext{\fntag(**)% P 44 32--34
Il y a eu cependant, apr{\`e}s mon d{\'e}part en 1970, un mouvement de r{\'e}action tr{\`e}s 
nette, lequel s'est concr{\'e}tis{\'e} par une situation de stagnation relative, que 
j'ai occasion plus d'une fois d'{\'e}voquer dans les lignes de R{\'e}coltes et Semailles. 
}%
l'essentiel, {\`a} d{\'e}gager une sorte de ``quintessence'' de ce qui devait rester vala\-%
ble, dans le cadre des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques dites ``abstraites'', de la classique 
``th{\'e}orie de Hodge'', valable pour les vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques ``ordinaires''\fnmark(***). 
\footnotetext{\fntag(***)% P 44 35--37
``Ordinaire'' signifie ici: ``d{\'e}finie sur le corps des complexes''. La th{\'e}orie 
de Hodge (dite ``des int{\'e}grales harmoniques'') {\'e}tait la plus puissante des th{\'e}ories 
cohomologiques connues dans le contexte des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques complexes. 
}%
J'ai appel{\'e} {\em ``conjectures standard''} (pour les cycles alg{\'e}\-%
briques) cette nouvelle version, enti{\`e}rement g{\'e}om{\'e}trique, des fameuses conjectures. 

    Dans mon esprit, c'{\'e}tait l{\`a} un nouveau pas, apr{\`e}s le d{\'e}veloppement de 
l'outil cohomologique $\ell$-adique, en direction de ces conjectures. Mais en m{\^e}me 
temps et surtout, c'{\'e}tait aussi un des principes d'approche possibles vers ce qui 
m'appara{\^\i}t encore comme le th{\`e}me le plus profond que j'aie introduit en 
% Page 0055 = P 45 1--30
\origpage{P 45}%
math{\'e}matique\fnmark(*): celui des {\em motifs\/} (lui-m{\^e}me n{\'e} du ``th{\`e}me cohomologique 
\footnotetext{\fntag(*)% P 45 26--30
C'est le th{\`e}me le plus profond, tout au moins dans la p{\'e}riode ``publique'' de 
mon activit{\'e} de math{\'e}maticien, entre~1950 et~1969, c'est-{\`a}-dire jusqu'au moment 
de mon d{\'e}part de la sc{\`e}ne math{\'e}matique. Je consid{\`e}re le th{\`e}me de la g{\'e}om{\'e}trie al\-%
g{\'e}brique anab{\'e}lienne et de la th{\'e}orie de Galois--Teichm{\"u}ller, d{\'e}velopp{\'e} {\`a} partir 
de~1977, comme {\'e}tant d'une profondeur comparable, 
}%
$\ell$-adique''). Ce th{\`e}me est comme le {\em c{\oe}ur\/} ou l'{\^a}me, la partie la plus ca\-%
ch{\'e}e, la mieux d{\'e}rob{\'e}e au regard, du th{\`e}me sch{\'e}matique, qui lui-m{\^e}me est au c{\oe}ur 
de la vision nouvelle. Et les quelques ph{\'e}nom{\`e}nes-clef d{\'e}gages dans les conjectu\-%
res standard\fnmark(**) peuvent {\^e}tre vus comme formant une sorte de quintessence ultime 
\footnotetext{\fntag(**)% P 45 31--34
(A l'intention du lecteur g{\'e}om{\`e}tre alg{\'e}briste) Il y a lieu, {\'e}ventuellement, 
de reformuler ces conjectures. Pour des commentaires plus circonstanci{\'e}s, voir 
``Le tour des chantiers'' (ReS~IV note n$^\circ$~178, p.~1215--1216) et la note de b.\ de p.\  
p.~769 dans ``Conviction et connaissance'' (ReS~III, note n$^\circ$~162). 
}%
du th{\`e}me motivique, comme le {\em ``souffle''} vital de ce th{\`e}me subtil entre 
tous, de ce {\em ``c{\oe}ur dans le c{\oe}ur''} de la g{\'e}om{\'e}trie nouvelle. 

    Voici en gros de quoi il s'agit. Nous avons vu, pour un nombre p\correct{er}{re}mier~$p$ 
donn{\'e}, l'importance (en vue notamment des conjectures de Weil) de savoir cons\-%
truire des ``th{\'e}ories cohomologiques'' pour les ``vari{\'e}t{\'e}s (alg{\'e}briques) de caract{\'e}\-%
ristique~$p$''. Or, le fameux ``outil cohomologique $\ell$-adique'' fournit justement une 
telle th{\'e}orie, et m{\^e}me une {\em infinit{\'e} de th{\'e}ories coho\-%
mologiques diff{\'e}rentes}, {\`a} savoir une associ{\'e}e {\`a} tout nom\-%
bre p\correct{er}{re}mier~$\ell$ diff{\'e}rent de la caract{\'e}ristique~$p$. Il y a l{\`a} encore visiblement, 
une ``th{\'e}orie qui manque'', qui correspondrait au cas d'un~$\ell$ qui serait {\'e}gal {\`a}~$p$. 
Pour y pourvoir, j'ai imagin{\'e} tout expr{\`e}s une autre th{\'e}orie cohomolog\correct{o}{}ique encore 
({\`a} laquelle il a {\'e}t{\'e} d{\'e}j{\`a} fait allusion tant{\^o}t), dite ``cohomologie cristalline''. 
D'ailleurs, dans le cas important o{\`u} $p$ est infini, on dispose de trois autres 
th{\'e}ories cohomologiques encore\fnmark(***) --- et rien ne prouve qu'on ne sera conduit, 
\footnotetext{\fntag(***)% P 45 35--41
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien) Ces th{\'e}ories correspondent res\-%
pectivement {\`a} la {\em cohomologie de Betti\/} (d{\'e}finie par voie 
transcendante, {\`a} l'aide d'un plongement du corps de base dans le corps des com\-%
plexes), {\`a} la {\em cohomologie de Hodge\/} (d{\'e}finie par Serre) et 
{\`a} la {\em cohomologie de De Rham\/} (d{\'e}finie par moi), ces deux 
derni{\`e}res remontant d{\'e}j{\`a} aux ann{\'e}es cinquante (et celle de Betti, au si{\`e}cle der\-%
nier).
}% 
t{\^o}t ou tard, {\`a} introduire encore de nouvelles th{\'e}ories cohomologiques, ayant des 
propri{\'e}t{\'e}s formelles toutes analogues. Contrairement {\`a} ce qui se passait en to\-%
pologie ordinaire, on se trouve donc plac{\'e} l{\`a} devant une abondance d{\'e}concertante 
de th{\'e}ories cohomologiques diff{\'e}rentes. On avait l'impression tr{\`e}s nette qu'en 
un sens qui restait d'abord assez flou, toutes ces th{\'e}ories devaient ``revenir 
au m{\^e}me'', qu'elles ``donnaient les m{\`e}mes r{\'e}sultats''\fnmark(****). C'est pour parvenir {\`a} 
\footnotetext{\fntag(****)% P 45 42--43
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien) Par exemple, si $f$ est un endo\-%
morphisme de la vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique~$X$, induisant un endomorphisme de l'espace de 
% P 46 1--13
cohomologie $H^i(X)$, le ``polyn{\^o}me caract{\'e}ristique'' de ce dernier devait {\^e}tre {\`a} 
coefficients {\em entiers}, ne d{\'e}pendant pas de la th{\'e}orie cohomologique parti\-%
culi{\`e}re choisie (par exemple $\ell$-adique, pour $\ell$ variable). Itou pour des corres\-%
pondances alg{\'e}briques g{\'e}n{\'e}rales, quand $X$ est suppos{\'e}e propre et lisse. La triste 
v{\'e}rit{\'e} (et qui donne une id{\'e}e de l'{\'e}tat de lamentable abandon de la th{\'e}orie coho\-%
mologique des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}briques en caracteristique $p>0$, depuis mon d{\'e}part), 
c'est que la chose n'est toujours pas d{\'e}montr{\'e}e {\`a} l'heure actuelle, m{\^e}me dans le 
cas particulier o{\`u} $X$ est une {\em surface\/} projective et lisse et~$i=2$. En 
fait, {\`a} ma connaissance, personne apr{\`e}s mon d{\'e}part n'a encore daign{\'e} s'int{\'e}resser 
{\`a} cette question cruciale, typique de celles qui apparaissent comme subordonn{\'e}es 
aux conjectures standard. Le d{\'e}cret de la mode, c'est qu{\'e} le seul endomorphisme 
digne d'attention est l'endomorphisme de Frobenius (lequel a pu {\^e}tre trait{\'e} {\`a} 
part par Deligne, par les moyens du bord\dots). 
}%
% Page 0056 = P 46 14--34
\origpage{P 46}%
exprimer cette intuition de ``parent{\'e}'' entre th{\'e}ories cohomologiques diff{\'e}rentes, 
que j'ai d{\'e}gag{\'e} la notion de {\em ``motif''} associ{\'e} {\`a} une vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique. 
Par ce terme, j'entends sugg{\'e}rer qu'il s'agit du ``motif commun'' (ou de la 
{\em ``raison\/} commune'') sous-jacent {\`a} cette multitude d'invariants cohomologi\-%
ques diff{\'e}rents associ{\'e}s {\`a} l{\`a} vari{\'e}t{\'e}, {\`a} l'aide de la multitude des toutes les 
th{\'e}ories cohomologiques possibles a priori. Ces diff{\'e}rentes th{\'e}ories cohomolo\-%
giques seraient comme autant de d{\'e}veloppements th{\'e}matiques diff{\'e}rents, chacun 
dans le ``tempo'', dans la ``clef'' et dans le ``mode'' (``majeur'' ou ``mineur'') qui lui 
est propre, d'un m{\^e}me ``motif de base'' (appel{\'e} ``th{\'e}orie cohomologique {\em moti\-% 
vique''}), lequel serait en m{\^e}me temps la plus fondamentale, ou la plus ``fine'', 
de toutes ces ``incarnations'' th{\'e}matiques diff{\'e}rentes (c'est-{\`a}-dire, de toutes 
ces th{\'e}ories cohomologiques possibles). Ainsi, le motif associ{\'e} {\`a} une vari{\'e}t{\'e} al\-%
g{\'e}brique constituerait l'invariant cohomologique ``ultime'', ``par excellence'', dont 
tous les autres (associ{\'e}s aux diff{\'e}rentes th{\'e}ories cohomologiques possibles) se 
d{\'e}duiraient, comme autant d'``incarnations'' musicales, ou de ``r{\'e}alisations'' dif\-%
f{\'e}rentes. Toutes les propri{\'e}t{\'e}s essentielles de {\em ``la\/} cohomologie'' de la vari{\'e}\-%
t{\'e} se ``liraient'' (ou s'``entendraient'') d{\'e}j{\`a} sur le motif correspondant, de 
sorte que les propri{\'e}t{\'e}s et structures famili{\`e}res sur les invariants cohomologi\-%
ques particularis{\'e}s ($\ell$-adiques ou cristallins, par exemple), seraient simplement 
le fid{\`e}le reflet des propri{\'e}t{\'e}s et structures {\em internes au 
motif\/}\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntag(*) % P 46 35--45 
(A l'intention du lecteur math{\'e}maticien) Une autre fa{\c c}on de voir la cat{\'e}go\-%
rie des motifs sur un corps~$k$, c'est de la visualiser comme une sorte de ``cat{\'e}\-%
gorie ab{\'e}llenne enveloppante'' de la cat{\'e}gorie des sch{\'e}mas s{\'e}par{\'e}s de type fini 
sur~$k$. Le motif associ{\'e} {\`a} un tel sch{\'e}ma~$X$ (ou ``cohomologie motivique de~$X$'', que 
je note $H_{mot}^*(X)$) appara{\^\i}t ainsi comme une sorte de ``avatar'' ab{\'e}lianis{\'e} de~$X$. La 
chose cruciale ici, c'est que, tout comme une vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique~$X$ est suscepti\-%
ble de ``variation continue'' (sa classe d'isomorphie d{\'e}pend donc de ``param{\`e}tres'' 
continus, ou ``modules''), le motif associ{\'e} {\`a}~$X$, ou plus g{\'e}n{\'e}ralement, un motif 
``variable'', est lui aussi susceptible de variation continue. C'est l{\`a} un aspect 
de la cohomologie motivique, qui est en contraste frappant avec ce qui se passe 
pour tous les invariants cohomologiques classiques, y compris les invariants 
% P 47 1--20
$\ell$-adiques, {\`a} la seule exception de la cohomologie de Hodge des vari{\'e}t{\'e}s alg{\'e}\-%
briques complex{\'e}s. 

    Ceci donne une id{\'e}e {\`a} quel point l{\`a} ``cohomologie motivique'' est un invariant 
plus fin, cernant de fa{\c c}on beaucoup plus serr{\'e}e la ``forme arithm{\'e}tique'' (si j'ose 
hasarder cette expression) de~$X$, que les invariants purement topologiques tradi\-%
tionnels. Dans ma vision des motifs, ceux-ci constituent une sorte de ``cordon'' 
tr{\`e}s cach{\'e} et tr{\`e}s d{\'e}licat, reliant les propri{\'e}t{\'e}s alg{\'e}bro-g{\'e}om{\'e}triques d'une 
vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique, {\`a} des propri{\'e}t{\'e}s de nature ``arithm{\'e}tique'' incarn{\'e}es par 
son motif. Ce dernier peut {\^e}tre consid{\'e}r{\'e} comme un objet de nature ``g{\'e}om{\'e}trique'' 
dans son esprit m{\^e}me, mais o{\`u} les propri{\'e}t{\'e}s ``arithm{\'e}tiques'' surbordonn{\'e}es {\`a} la 
g{\'e}om{\'e}trie se trouvent, pour ainsi dire, ``mises {\`a} nu''. 

    Ainsi, le motif m'appara{\^\i}t comme le plus profond ``invariant de la forme'' 
qu'on a su associer jusqu'{\`a} pr{\'e}sent {\`a} une vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique, mis {\`a} part son 
``groupe fondamental motivique''. L'un et l'autre invariant repr{\'e}sentent pour moi 
comme les ``ombres'' d'un ``type d'homotopie motivique'' qui resterait {\`a} d{\'e}crire (et 
aur lequel je dis quelques mots en passant dans la note ``Le tour des chantiers --- 
ou outils et vision'' (ReS~IV, n$^\circ$~178, voir chantier~5 (Motifs), et notamment 
page~1214)). C'est ce dernier objet qui me semble devoir {\^e}tre l'incarnation la 
plus parfaite de l'{\'e}lusive intuition de ``forme arithm{\'e}tique'' (ou ``motivique'') 
d'une vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}brique quelconque. 
}%

% Page 0057 = P 47 21--39
\origpage{P 47}%
    C'est l{\`a}, exprim{\'e} dans le langage non technique d'une m{\'e}taphore musicale, 
la quintessence d'une id{\'e}e d'une simplicit{\'e} enfantine encore, d{\'e}licate et auda\-%
cieuse {\`a} l{\`a} fois. J'ai d{\'e}velopp{\'e} cette id{\'e}e, en marge des t{\^a}ches de fondements 
que je consid{\'e}rais plus urgentes, sous le nom de ``th{\'e}orie des motifs'' ou de 
``philosophie (ou ``yoga'') des motifs'', tout au long des ann{\'e}es 1963--69. C'est 
une th{\'e}orie d'une richesse structurale fascinante, dont une grande partie est 
rest{\'e}e encore conjecturale\fnmark(*). 
\footnotetext{\fntag(*)% P 47 40--45
J'ai expliqu{\'e} ma vision des motifs {\`a} qui voulait l'entendre, tout au long de 
ces ann{\'e}es, sans prendre la peine de rien publier {\`a} ce sujet noir sur blanc (ne 
manquant pas d'autres t{\^a}ches au service de tous). Cela a permis plus tard {\`a} cer\-%
tains de mes {\'e}l{\`e}ves de piller plus {\`a} l'aise, sous l'{\oe}il attendri de l'ensemble 
de mes anciens amis, bien au courant de la situation. (Voir note de b.~de p.~qui 
suit.) 
}%

    Je m'exprime {\`a} diverses reprises, dans R{\'e}coltes et Semailles au sujet de ce 
``yoga des motifs'', qui me tient particuli{\`e}rement {\`a} c{\oe}ur. Ce n'est pas le lieu 
de revenir ici sur ce que j'en dis ailleurs. Qu'il me suffise de dire que les 
``conjectures standard'' d{\'e}coulent le plus naturellement du monde de ce yoga des 
motifs. En m{\^e}me temps elles fournissent un principe d'approche pour une des cons\-%
tructions en forme possibles de la notion de motif. 

    Ces conjectures m'apparaiss\correct{}{ai}ent, et m'apparaissent aujourd'hui encore, comme 
l'une des deux questions les plus fondamentales qui se posent en g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}\-%
brique. Ni cette question, ni l'autre question toute aussi cruciale (celle dite 
de la ``r{\'e}solution des singularit{\'e}s'') n'est encore r{\'e}solue {\`a} l'heure actuelle. Mais 
alors que la deuxi{\`e}me de ces questions appara{\^\i}t, aujourd'hui comme il y a cent 
ans, comme une question prestigieuse et redoutable, celle que j'ai eu l'honneur 
% Page 0058 = P 48 1--30
\origpage{P 48}%
de d{\'e}gager s'est vue classer par les p{\'e}remptoires d{\'e}crets de la mode (d{\`e}s les 
ann{\'e}es qui ont suivi mon d{\'e}part de la sc{\`e}ne math{\'e}matique, et tout comme le th{\`e}me 
motivique lui-m{\^e}me\fnmark(*)) comme aimable fumisterie grothendieckienne. Mais encore 
\footnotetext{\fntag(*)% P 48 31--38
En fait, ce th{\`e}me a {\'e}t{\'e} exhum{\'e} en~1982 (un an apr{\`e}s le th{\`e}me cristallin), sous 
son nom d'origine cette fois (et sous une forme {\'e}triqu{\'e}e, dans le seul cas d'un 
corps de base de caract{\'e}ristique nulle), sans que le nom de l'ouvrier ne soit pro\-%
nonc{\'e}. C'est l{\`a} un exemple parmi un nombre d'autres, d'une notion ou d'un th{\`e}me 
enterr{\'e} aux lendemains de mon d{\'e}part comme des fantasmagories grothendieckiennes, 
pour {\^e}tre exhumes l'un apr{\`e}s l'autre par certains de mes {\'e}l{\`e}ves au cours des dix 
ou quinze ann{\'e}es suivantes, avec une fiert{\'e} modeste et (est-il besoin encore de le 
pr{\'e}ciser) sans mention de l'ouvrier\dots\ 
}%
une fois j'anticipe\dots\ 

\bigbreak
\nno17. A vrai dire, mes r{\'e}flexions sur les conjectures de Weil elles-m{\^e}mes, en vue de les 
{\'e}tablir, sont rest{\'e}es sporadiques. Le panorama qui avait commenc{\'e} {\`a} s'ouvrir 
devant moi et que je m'effor{\c c}ais de scruter et de capter, d{\'e}passait de tr{\`e}s loin 
en ampleur et en profondeur les hypoth{\'e}tiques besoins d'une d{\'e}monstration, et m{\^e}me 
tout ce que ces fameuses conjectures avaient pu d'abord faire entrevoir. Avec 
l'apparition du th{\`e}me sch{\'e}matique et de celui des topos, c'est un monde nouveau 
et insoup{\c c}onn{\'e} qui s'{\'e}tait ouvert soudain. ``Les conjectures'' y occupaient une 
place centrale, certes, un peu comme le ferait la capitale d'un vaste empire ou 
continent, aux provinces innombrables, mais dont la plupart n'ont que des rapports 
des plus lointains avec ce lieu brillant et prestigieux. Sans avoir eu {\`a} me le 
dire jamais, je me savais le serviteur d{\'e}sormais d'une grande t{\^a}che: explorer ce 
monde immense et inconnu, appr{\'e}hender ses contours jusqu'aux fronti{\`e}res les plus 
lointaines; et aussi, parcourir en tous sens et inventorier avec un soin tenace 
et m{\'e}thodique les provinces les plus proches et les plus accessibles, et en 
dresser des cartes d'une fid{\'e}lit{\'e} et d'une pr{\'e}cision scrupuleuse, o{\`u} le moindre 
hameau et la moindre chaumi{\`e}re auraient leur place\dots\ 

    C'est ce dernier travail surtout qui absorbait le plus gros de mon {\'e}nergie 
--- un patient et vaste travail de fondements que j'{\'e}tais le seul {\`a} voir clairement 
et, surtout, {\`a} ``sentir par les tripes''. C'est lui qui a pris, et de loin, la plus 
grosse part de mon temps, entre~1958 (l'ann{\'e}e o{\`u} sont apparus, coup sur coup, 
le th{\`e}me sch{\'e}matique et celui des topos) et~1970 (l'ann{\'e}e de mon d{\'e}part de la 
sc{\`e}ne math{\'e}matique). 

    Souvent d'ailleurs je rongeais mon frein d'{\^e}tre retenu ainsi, comme par un 
poids tenace et collant, avec ces interminables t{\^a}ches qui (une fois vu l'essen\-%
tiel) s'apparentaient plus pour moi {\`a} ``de l'intendance'', qu'{\`a} une lanc{\'e}e dans 
l'inconnu. Constamment je devais retenir cette pulsion de m'{\'e}lancer de l'avant --- 
% Page 0059 = P 49 1--37
\origpage{P 49}%
celle du pionnier ou de l'explorateur, parti {\`a} la d{\'e}couverte et {\`a} l'exploration 
de mondes inconnus et sans nom, m'appelant sans cesse pour que je les connaisse 
et les nomme. Cette pulsion-l{\`a}, et l'{\'e}nergie que j'y investissais (comme {\`a} la 
d{\'e}rob{\'e}e, quasiment!), {\'e}taient constamment {\`a} la portion congrue. 

    Pourtant, je savais bien au fond que c'{\'e}tait cette {\'e}nergie-l{\`a}, d{\'e}rob{\'e}e 
(pour ainsi dire) {\`a} celle que je d{\'e}vais {\`a} mes ``t{\^a}ches'', qui {\'e}tait de l'essence 
la plus rare et la plus d{\'e}li{\'e}e --- que la ``cr{\'e}ation'' dans mon travail de math{\'e}ma\-%
ticien, c'{\'e}tait avant tout {\em l{\`a}\/} qu'elle se pla{\c c}ait: dans cette attention inten\-%
se pour appr{\'e}hender, dans les replis obscurs, informes et moites d'une chaude et 
in{\'e}puisable matrice nourrici{\`e}re, les premi{\`e}res traces de forme et de contours 
de ce qui n'{\'e}tait pas n{\'e} encore et qui semblait m'appeler, pour prendre forme et 
s'incarner et na{\^\i}tre\dots\ Dans le travail de d{\'e}couverte, cette attention intense, 
cette sollicitude ardente sont une force essentielle, tout comme la chaleur du 
soleil pour l'obscure gestation des semences enfouies dans la terre nourrici{\`e}re, 
et pour leur humble et miraculeuse {\'e}closion {\`a} la lumi{\`e}re du jour. 

    Dans mon travail de math{\'e}maticien, je vois {\`a} l'{\oe}uvre surtout ces deux 
forces ou pulsions, {\'e}galement profondes, de nature (me semble-t-il) diff{\'e}rentes. 
Pour {\'e}voquer l'une et l'autre, j'ai utilis{\'e} l'image du {\em b{\^a}tisseur}, 
et celle du {\em pionnier\/} ou de l'explorateur. Mises c{\^o}te-{\`a}-c{\^o}te, l'une et 
l'autre me frappent soudain comme vraiment tr{\`e}s ``yang'', tr{\`e}s ``masculines'', voire 
``macho''! Elles ont la r{\'e}sonance alti{\`e}re du mythe, ou celle des ``grandes occa\-%
sions''. S{\^u}rement elles sont inspir{\'e}es par les vestiges, en moi, de mon ancienne 
vision ``h{\'e}ro{\"\i}que'' du travail cr{\'e}ateur, la vision super-yang. Telles quelles, 
elles donnent une vision fortement teint{\'e}e, pour ne pas dire fig{\'e}e, ``au garde {\`a} 
vous'', d'une r{\'e}alit{\'e} bien plus fluide, plus humble, plus ``simple'' --- d'une r{\'e}alit{\'e} 
{\em vivante}. 

    Dans cette m{\^a}le pulsion du ``b{\^a}tisseur'', qui semble sans cesse me pousser 
vers de nouveaux chantiers, je discerne bien pourtant, en m{\^e}me temps, celle du 
{\em casanier}: de celui profond{\'e}ment attach{\'e} {\`a} {\em ''la''} maison. Avant toute 
autre chose, c'est {\em ``sa''} maison, celle des {\em ``proches''} --- le lieu 
d'une intime entit{\'e} vivante dont il se sent faire partie. Ensuite seulement, et 
{\`a} mesure que s'{\'e}largit le cercle de ce qui est ressenti comme ``proche'', est-elle 
aussi une ``maison pour tous''. Et dans cette pulsion de ``faire des maisons'' 
(comme on ``ferait'' l'amour\dots) il y a aussi et avant tout une {\em tendresse}. 
Il y a la pulsion du {\em contact\/} avec ces mat{\'e}riaux qu'un fa{\c c}onne un {\`a} un, 
avec un soin amoureux, et qu'un ne conna{\^\i}t vraiment que par ce contact aimant. Et, 
une fois mont{\'e}s les murs et pos{\'e}s les poutres et le toit, il y a la satisfaction 
% Page 0060 = P 50 1--31
\origpage{P 50}%
profonde {\`a} installer une pi{\`e}ce apr{\`e}s l'autre, et {\`a} voir peu {\`a} peu s'instaurer, 
parmi ces salles, ces chambres et ces r{\'e}duits l'ordre harmonieux de la maison 
vivante --- belle, accueillante, bonne pour y vivre. Car {\em la maison}, avant 
tout et secr{\`e}tement en chacun de nous, c'est aussi {\em la m{\`e}re\/} --- ce qui nous 
entoure et nous abrite, {\`a} la fois refuge et r{\'e}confort; et peut-{\^e}tre (plus pro\-%
fond{\'e}ment encore, et alors m{\^e}me que nous serions en train de la construire de 
toutes pi{\`e}ces) c'est cela aussi dont nous sommes nous-m{\^e}mes issus, ce qui nous a 
abrit{\'e} et nourri, en ces temps {\`a} jamais oubli{\'e}s d'avant notre naissance\dots\ C'est 
aussi {\em le Giron}. 

    Et l'image apparue spontan{\'e}ment tant{\^o}t, pour aller au del{\`a} de l'appellation 
prestigieuse de ``pionnier'', et pour cerner la r{\'e}alit{\'e} plus cach{\'e}e qu'elle recou\-%
vrait, {\'e}tait elle aussi d{\'e}pouill{\'e}e de tout accent ``h{\'e}ro{\"\i}que''. L{\`a} encore, c'{\'e}tait 
l'image arch{\'e}type du maternel qui est apparue --- celle de la ``matrice'' nourrici{\`e}re 
et de ses informes et obscurs labeurs\dots\ 

    Ces deux pulsions qui m'apparaissaient comme ``de nature diff{\'e}rente'' sont 
finalement plus proches que je ne l'aurais pens{\'e}. L'une et l'autre sont dans la 
nature d'une {\em ``pulsion de contact''}, nous portant {\`a} la ren\-%
contre de {\em ``la M{\`e}re''}: de Celle qui incarne {\em et\/} ce qui est proche, 
``connu'', {\em et\/} ce qui est ``inconnu''. M'abandonner {\`a} l'une ou l'autre pulsion, 
c'est {\em ``retrouver la M{\`e}re''}. C'est renouveler le contact {\`a} la 
fois au {\em proche}, au ``plus ou moins connu'', et au {\em ``lointain''}, 
{\`a} ce qui est ``inconnu'' mais en m{\^e}me temps pressenti, sur le point de se faire 
conna{\^\i}tre. 

    La diff{\'e}rence ici est de tonalit{\'e}, de dosage, non de nature. Quand je 
``b{\^a}tis des maisons'', c'est le ``connu'' qui domine, et quand ``j'explore'', c'est 
l'inconnu. Ces deux ``modes'' de d{\'e}couverte, ou pour mieux dire, ces deux aspects 
d'un m{\^e}me processus ou d'un m{\^e}me travail, sont indissolublement li{\'e}s. Ils sont 
essentiels l'un et l'autre, et compl{\'e}mentaires. Dans mon travail math{\'e}matique, 
je discerne un mouvement de va-et-vient constant entre ces deux modes d'approche, 
ou plut{\^o}t, entre les moments (ou les p{\'e}riodes) o{\`u} l'un pr{\'e}domine, et ceux o{\`u} 
pr{\'e}domine l'autre\fnmark(*). Mais il est clair aussi qu'en chaque moment, et l'un et 
\footnotetext{\fntag(*)% P 50 32--39
Ce que je dis ici sur le travail math{\'e}matique est vrai {\'e}galement pour le 
travail de ``m{\'e}ditation'' (dont il sera question un peu partout dans R{\'e}coltes et 
Semailles). Il n'y a gu{\`e}re de doute pour moi que c'est l{\`a} une chose qui appara{\^\i}t 
dans tout travail de d{\'e}couverte, y compris dans celui de l'artiste ({\'e}crivain ou 
po{\`e}te, disons). Les deux ``versants'' que je d{\'e}cris ici peuvent {\^e}tre vus {\'e}galement 
comme {\'e}tant, l'un celui de {\em l'expression\/} et de ses exigences ``techni\-%
ques'', l'autre celui de la {\em r{\'e}ception\/} (de perceptions et d'impressions 
de toutes sortes), devenant {\em inspiration\/} par l'effet d'une attention 
% P 51 1--3
intense. L'un et l'autre sont pr{\'e}sents en tout moment du travail, et il y a ce 
mouvement constant de ``va-et-vient'' entre les ``temps'' o{\`u} l'un pr{\'e}domine, et ceux 
o{\`u} pr{\'e}domine l'autre. 
}%
% Page 0061 = P 51 4--33
\origpage{P 51}%
l'autre mode est pr{\'e}sent. Quand je construis, am{\'e}nage, ou que je d{\'e}blaie, nettoie, 
ordonne, c'est le ``mode'' ou le ``versant'' ``yang'', ou ``masculin'' du travail qui 
donne le ton. Quand j'explore {\`a} t{\^a}tons l'insaisissable, l'informe, ce qui est 
sans nom, je suis le versant ``ying'', ou ``f{\'e}minin'' de mon {\^e}tre. 

    Il n'est pas question pour moi de vouloir minimiser ou renier l'un ou 
l'autre versant de ma nature, essentiels l'un et l'autre --- le ``masculin'' qui 
construit et qui engendre, et le ``f{\'e}minin'' qui con{\c c}oit, et qui abrite les lentes 
et obscures gestations. Je ``suis'' l'un et l'autre --- ``yang'' et ``yin'', ``homme'' et 
``femme''. Mais je sais aussi que l'essence la plus d{\'e}licate, la plus d{\'e}li{\'e}e dans 
les processus cr{\'e}ateurs se trouve du c{\^o}t{\'e} du versant ``yin'', ``f{\'e}minin'' --- le versant 
humble, obscur, et souvent de pi{\`e}tre apparence. 

    C'est ce versant-l{\`a} du travail qui, depuis toujours je crois, a exerc{\'e} sur 
moi la fascination la plus puissante. Les consensus en vigueur m'encourageaient 
pourtant {\`a} investir le plus clair de mon {\'e}nergie dans l'autre versant, dans celui 
qui s'incarne et s'affirme dans des ``produits'' tangibles, pour ne pas dire finis 
et achev{\'e}s --- des produits aux contours bien tranch{\'e}s, attestant de leur r{\'e}alit{\'e} 
avec l'{\'e}vidence de la pierre taill{\'e}e\dots\ 

    Je vois bien, avec le recul, comment ces consensus ont pes{\'e} sur moi, 
et aussi comment j'ai ``accus{\'e} le poids'' --- en souplesse! La partie ``conception'' 
ou ``exploration'' de mon travail {\'e}tait maintenue {\`a} la portion congrue jusqu'au 
moment encore de mon d{\'e}part, soit. Et pourtant, dans ce coup d'{\oe}il r{\'e}trospectif 
sur ce que fut mon {\oe}uvre de math{\'e}maticien, il ressort avec une {\'e}vidence saisis\-%
sante que ce qui fait l'essence et la puissance de cette {\oe}uvre, c'est bien ce 
versant de nos jours n{\'e}glig{\'e}, quand il n'est objet de d{\'e}rision ou d'un condescen\-%
dant d{\'e}dain: celui des {\em ``id{\'e}es''}, voire celui du {\em ``r{\^e}ve''}, nulle\-%
ment celui des ``r{\'e}sultats''. Essayant dans ces pages de cerner ce que j'ai appor\-%
t{\'e} de plus essentiel {\`a} l{\`a} math{\'e}matique de mon temps, par un regard qui embrasse 
une for{\^e}t, plut{\^o}t que de s'attarder sur des arbres --- j'ai vu, non un palmar{\`e}s de 
``grands th{\'e}or{\`e}mes'', mais un vivant {\'e}ventail d'id{\'e}es f{\'e}condes\fnmark(*), venant concou\-%
rir toutes {\`a} une m{\^e}me et vaste vision. 
\footnotetext{\fntag(*)% P 51 34--38
Ce n'est pas que ce qu'on peut appeler les ``grands th{\'e}or{\`e}mes'' manquent dans 
mon {\oe}uvre, y compris des th{\'e}or{\`e}mes qui r{\'e}solvent des questions pos{\'e}es par 
d'autres que moi, que personne avant moi n'avait su r{\'e}soudre. (J'en passe en re\-%
vue certains dans la note de b.~de p.~\fnmarkref{554-***}(***) page~\pgref{554}{554-***}, de la note ``La mer qui mon\-%
te\dots'' (ReS~III, n$^\circ$~122).) Mais, comme je l'ai souligne d{\'e}j{\`a} d{\`e}s les d{\'e}buts de 
% P 52 1--8
cette ``promenade'' (dans l'{\'e}tape ``Points de vue et vision'', n$^\circ$~6), ces th{\'e}or{\`e}mes 
ne prennent pour moi tout leur sens que par le contexte nourricier d'un grand 
th{\`e}me, initi{\'e} par une de ces ``id{\'e}es f{\'e}cond{\'e}s''. Leur d{\'e}monstration d{\`e}s lors d{\'e}\-%
coule, comme de source et sans effort, de la nature m{\^e}me, de la ``profondeur'' du 
th{\`e}me qui les porte --- comme les vagues du fleuve semblent na{\^\i}tre en douceur de la 
profondeur m{\^e}me de ses eaux, sans rupture et sans effort. Je m'exprime dans un 
sens tout analogue, mais avec d'autres images, dans la note d{\'e}j{\`a} cit{\'e}e ``La mer 
qui monte\dots''. 
}%

\bigbreak
% Page 0062 = P 52 9--39
\origpage{P 52}%
\nno18. Quand cet ``avant-propos'' a commenc{\'e} {\`a} tourner {\`a} la promenade {\`a} travers mon 
{\oe}uvre de math{\'e}maticien, avec mon petit topo sur les ``h{\'e}ritiers'' (bon teint) et 
sur les ``b{\^a}tisseurs'' (incorrigibles), a commenc{\'e} aussi {\`a} appara{\^\i}tre un {\em nom\/} 
pour cet avant-propos manqu{\'e}: ce serait ``L'enfant et le b{\^a}tisseur''. Au cours des 
jours suivants, il devenait de plus en plus clair que ``l'enfant'' et ``le b{\^a}tis\-%
seur'' {\'e}taient un seul et m{\^e}me personnage. Ce nom est donc devenu, plus simplement, 
``L'enfant b{\^a}tisseur''. Un nom, ma foi, qui ne manquait pas d'allure, et tout fait 
pour me plaire! 

    Mais voil{\`a} que la r{\'e}flexion fait appara{\^\i}tre que cet altier ``b{\^a}tisseur'', 
ou (plus modestement) l'enfant-qui-joue-{\`a}-faire-des-maisons, ce n'{\'e}tait qu'un des 
visages du fameux enfant-qui-joue, lequel en avait {\em deux}. Il y a aussi 
l'enfant-qui-aime-{\`a}-explorer-les-choses, {\`a} aller fouiner et s'enfouir dans les 
sables ou dans les vases boueuses et sans nom, les endroits les plus impossibles 
et les plus saugrenus\dots\ Pour donner le change sans doute (ne serait-ce qu'{\`a} 
moi-m{\^e}me\dots), j'ai commenc{\'e} par l'introduire sous le nom flamboyant de ``pionnier'', 
suivi de celui, plus terre-{\`a}-terre mais encore aur{\'e}ol{\'e} de prestige, d'``explora\-%
teur''. C'{\'e}tait {\`a} se demander, entre le ``b{\^a}tisseur'' et le ``pionnier-explorateur'', 
lequel {\'e}tait le plus m{\^a}le, le plus all{\'e}chant des deux! Pile ou face? 

    Et puis, en y regardant d'un peu plus pr{\`e}s, voil{\`a} notre intr{\'e}pide ``pionnier'' 
qui se trouve finalement {\^e}tre une {\em fille\/} (qu'il m'avait plu d'habiller en 
gar{\c c}on) --- une s{\oe}ur des mares, de la pluie, des brumes et de la nuit, silencieu\-%
se et quasiment invisible {\`a} force de s'effacer dans l'ombre --- celle que toujours 
on oublie (quand on ne fait mine de se gausser d'elle\dots). Et j'ai bien trouv{\'e} 
moyen moi aussi, pendant des jours et des jours, de l'oublier --- de l'oublier 
doublement, pourrais-je dire: je n'avais voulu voir d'abord que le gar{\c c}on (celui 
qui joue {\`a} faire des maisons\dots) --- et m{\^e}me quand je n'ai pu m'emp{\^e}cher, {\`a} force, 
de voir quand m{\^e}me {\em l'autre}, je l'ai vue encore en gar{\c c}on, elle aussi\dots\ 

    Pour ce qui est du beau nom pour ma promenade, du coup il ne tient plus du 
tout. C'est un nom tout-en-yang, tout ``macho'', un nom-qui-boite. Pour le faire 
tenir pas de guingois, il faudrait y faire figurer {\em l'autre\/} {\'e}galement. 
Mais, chose {\'e}trange, {\em ``l'autre'' n'a pas vraiment de} 
% Page 0063 = P 53 1--38
\origpage{P 53}%
{\em nom}. Le seul qui colle tant soit peu, c'est ``explorateur'', mais c'est encore 
un nom de gar{\c c}on, rien {\`a} faire. La langue ici est une garce, elle nous pi{\`e}ge 
sans m{\^e}me qu'on s'en rende compte, visiblement de m{\^e}che avec des pr{\'e}jug{\'e}s ances\-% 
traux. 

    On pourrait s'en tirer peut-{\^e}tre avec ``L'enfant-qui-b{\^a}tit et l'enfant-%
qui-explore''. En laissant non-dit que l'un est ``gar{\c c}on'' et l'autre est ``fille'', 
et que c'est un seul et m{\^e}me enfant gar{\c c}on-fille qui, en b{\^a}tissant explore, et 
en explorant, b{\^a}tit\dots\ Mais hier, en plus du double versant yin-yang de ce qui 
contemple et explore, et de ce qui nomme et construit, {\'e}tait apparu un autre 
aspect encore des choses. 

    L'Univers, le Monde, voire le Cosmos, sont choses {\'e}trang{\`e}res au fond et 
tr{\`e}s lointaines. Elles ne nous concernent pas vraiment. Ce n'est pas vers {\em eux\/} 
qu'au plus profond de nous-m{\^e}me nous porte la pulsion de connaissance. Ce qui 
nous attire, c'est leur {\em Incarnation\/} tangible et imm{\'e}diate, la plus 
proche, la plus ``charnelle'', charg{\'e}e en r{\'e}sonances profondes et riche en myst{\`e}re 
--- Celle qui se confond avec les origines de notre {\^e}tre de chair, comme avec celles 
de notre esp{\`e}ce --- et Celle aussi qui de tout temps nous attend, silencieuse et 
pr{\^e}te {\`a} nous accueillir, ``{\`a} l'autre bout du chemin''. C'est d'{\em Elle}, la M{\`e}re, 
de Celle qui nous a enfant{\'e} comme elle a enfant{\'e} le Monde, que sourd la pulsion 
et que s'{\'e}lancent les chemins du d{\'e}sir --- et c'est {\`a} {\em Sa\/} rencontre qu'ils nous 
portent, vers {\em Elle\/} qu'ils s'{\'e}lancent, pour retourner sans cesse et s'ab{\^\i}mer 
en Elle. 

    Ainsi, au d{\'e}tour du chemin d'une ``promenade'' impr{\'e}vue, je retrouve {\`a} i'im\-%
proviste une parabole qui me f{\^u}t famili{\`e}re, et que j'avais un peu oubli{\'e}e --- la 
parabole de {\em l'enfant et la M{\`e}re}. On peut la voir comme une 
parabole pour {\em ``La Vie, {\`a} la qu{\^e}te d'elle-m{\^e}me''}. 
Ou, au niveau plus humble de l'existence individuelle, une parabole pour 
{\em ``l'{\^e}tre, {\`a} la qu{\^e}te des choses''.} 

    C'est une parabole, et c'est aussi l'expression d'une exp{\'e}rience ancestra\-%
le, profond{\'e}ment implant{\'e}e dans la psych{\'e} --- le plus puissant parmi les symboles 
originels qui nourrissent les couches cr{\'e}atrices profondes. Je crois y reconna{\^\i}\-%
tre, exprim{\'e} dans le langage imm{\'e}morial des images arch{\'e}types, le souffle m{\^e}me 
du pouvoir cr{\'e}ateur en l'homme, animant sa chair et son esprit, dans ses mani\-%
festations les plus humbles et les plus {\'e}ph{\'e}m{\`e}res, comme les plus {\'e}clatantes et 
les plus durables. 

    Ce ``souffle'', tout comme l'image charnelle qui l'incarne, est la chose au 
monde la plus humble. C'est aussi la chose la plus fragile, et la plus ignor{\'e}e 
de tous et la plus m{\'e}prisee\dots\  

% Page 0064 = P 54 1--26
\origpage{P 54}%
    Et l'histoire des vicissitudes de ce souffl{\'e}-l{\`a} au cours de ton existence 
n'est autre que {\em ton\/} aventure, l'``aventure de connaissance'' dans {\em ta\/} vie. 
La parabole sans paroles qui l'exprime est celui de l'enfant et la M{\`e}re. 

    Tu es l'enfant, issu de la M{\`e}re, abrit{\'e} en Elle, nourri de Sa puissance. 
Et l'enfant s'{\'e}lance de la M{\`e}re, la Toute-proche, la Bien-connue --- {\`a} la rencon\-%
tre de la M{\`e}re, l'Illimit{\'e}e, {\`a} jamais Inconnue et pleine de myst{\`e}re\dots\ 

\medskip

\hfill Fin de la ``Promenade {\`a} travers une {\oe}uvre'' 

\bigbreak

{\large\bf Epilogue: {\em les Cercles invisibles}}

\medskip
\nno19. Jusqu'{\`a} l'apparition du point de vue des topos, vers la fin des ann{\'e}es 
cinquante, l'{\'e}volution de la notion d'espace m'appara{\^\i}t comme une {\'e}volution 
essentiellement {\em ``continue''}. Elle para{\^\i}t se poursuivre sans heurts ni 
sauts, {\`a} partir de la th{\'e}orisation euclidienne de l'espace qui nous entoure, et 
de la g{\'e}om{\'e}trie l{\'e}gu{\'e}e par les grecs, s'attachant {\`a} l'{\'e}tude de certaines ``figures'' 
(droites, plans, cercles, triangles etc) vivant dans cet espace. Certes, des 
changements profonds ont eu lieu dans la fa{\c c}on dont le math{\'e}maticien ou le 
``philosophe de la nature'' concevait ``l'espace''\fnmark(*). Mais ces changements me sem\-%
\footnotetext{\fntag(*)% P 54 27--33
Mon propos initial, en {\'e}crivant l'Epilogue, avait {\'e}t{\'e} d'inclure une esquisse 
tr{\`e}s sommaire de certains de ces ``changements profonds'', et faire appara{\^\i}tre cette 
``continuit{\'e} essentielle'' que j'y vois. J'y ai renonc{\'e}, pour ne pas allonger outre 
mesure cette Promenade, d{\'e}j{\`a} bien plus longue que pr{\'e}vu! Je pense y revenir dans 
les Commentaires Historiques pr{\'e}vus dans le volume~4 des ``R{\'e}flexions'', {\`a} l'inten\-%
tion cette fois d'un lecteur math{\'e}maticien (ce qui change totalement la t{\^a}che 
d'exposition). 
}%
blent tous dans la nature d'une ``continuit{\'e}'' essentielle --- ils n'ont jamais plac{\'e} 
le math{\'e}maticien, attach{\'e} (comme tout un chacun) aux images mentales famili{\`e}res, 
devant un {\em d{\'e}paysement\/} soudain. C'{\'e}taient comme les changements, pro\-%
fonds peut-{\^e}tre mais progressifs, qui se font au fil des ans dans un {\^e}tre que 
nous aurions connu d{\'e}j{\`a} enfant, et dont nous aurions suivi l'{\'e}volution depuis ses 
premiers pas jusqu'{\`a} son {\^a}ge adulte et sa pleine maturit{\'e}. Des changements imper\-%
ceptibles en certaines longues p{\'e}riodes de calme plat, et tumultueux peut-{\^e}tre en 
d'autres. Mais m{\^e}me dans les p{\'e}riodes de croissance ou de m{\^u}rissement les plus 
intenses, et alors m{\^e}me que nous l'aurions perdu de vue pendant des mois, voire 
des ann{\'e}es, {\`a} aucun moment il ne pouvait pourtant y avoir le moindre doute, la 
% Page 0065 = P 55 1--29
\origpage{P 55}%
moindre h{\'e}sitation: c'est bien lui encore, un {\^e}tre bien connu et familier, que 
nous retrouvions, fut-ce avec des traits chang{\'e}s. 

    Je crois pouvoir dire, d'ailleurs, que vers le milieu de ce si{\`e}cle, cet 
{\^e}tre familier avait d{\'e}j{\`a} beaucoup vieilli --- tel un homme qui se serait finale\-%
ment {\'e}puis{\'e} et us{\'e}, d{\'e}pass{\'e} par un afflux de t{\^a}ches nouvelles auxquelles il 
n'{\'e}tait nullement pr{\'e}par{\'e}. Peut-{\^e}tre m{\^e}me {\'e}tait-il d{\'e}j{\`a} mort de sa belle mort, 
sans que personne ne se soucie d'en prendre note et d'en faire le constat. 
``Tout le monde'' faisait bien mine encore de s'affairer dans la maison d'un vi\-%
vant, que c'en {\'e}tait quasiment comme s'il {\'e}tait encore bel et bien vivant en 
effet. 

    Or doncques, jugez de l'effet f{\^a}cheux, pour les habitu{\'e}s de la maison, 
quand {\`a} la place du v{\'e}n{\'e}rable vieillard fig{\'e}, droit et raide dans son fauteuil, 
on voit s'{\'e}battre soudain un gamin vigoureux, pas plus haut que trois pommes, et 
qui pr{\'e}tend en passant, sans rire et comme chose qui irait de soi, que Monsieur 
Espace (et vous pouvez m{\^e}me d{\'e}sormais laisser tomber le ``Monsieur'', {\`a} votre 
aise\dots) c'est {\em lui!\/} Si encore il avait l'air au moins d'avoir les traits 
de famille, un enfant naturel peut-{\^e}tre qui sait\dots\ mais pas du tout! A vue de 
nez, rien qui rappelle le vieux P{\`e}re Espace qu'on avait si bien connu (ou cru 
conna{\^\i}tre\dots), et dont on {\'e}tait bien s{\^u}r, en tous cas (et c'{\'e}tait bien l{\`a} la 
moindre des choses\dots) qu'il {\'e}tait {\'e}ternel\dots\ 

    C'est {\em {\c c}a}, la fameuse ``mutation de la notion d'espace''. C'est {\em {\c c}a\/} que 
j'ai du ``voir'', comme chose d'{\'e}vidence, d{\`e}s les d{\'e}buts des ann{\'e}es soixante au 
moins, sans avoir jamais eu l'occasion de me le formuler avant ce moment m{\^e}me 
o{\`u} j'{\'e}cris ces lignes. Et je vois soudain avec une clart{\'e} nouvelle, par la seule 
vertu de cette {\'e}vocation imag{\'e}e et de la nu{\'e}e d'association qu'elle suscite 
aussit{\^o}t: la notion traditionnelle d'``espace'', tout comme celle {\'e}troitement 
apparent{\'e}e de ``vari{\'e}t{\'e}'' (en tous genres, et notamment celle de ``vari{\'e}t{\'e} alg{\'e}bri\-%
que''), avait pris, vers le moment o{\`u} je suis venu dans les parages, un tel coup 
de vieux d{\'e}j{\`a}, que c'{\'e}tait bien comme si elles {\'e}taient mortes\dots\fnmark(*). Et je 
\footnotetext{\fntagx(*)% P 55 30--42
Cette affirmation (qui semblera p{\'e}remptoire {\`a} certains) est {\`a} prendre avec 
un ``grain de sel''. Elle n'est ni plus, ni moins valable que celle (que je reprends 
{\`a} mon compte plus bas) que le ``mod{\`e}le newtonien'' de la m{\'e}canique (terrestre ou 
c{\'e}leste) {\'e}tait ``moribond'' au d{\'e}but de ce si{\`e}cle, quand Einstein est venu {\`a} la 
rescousse. C'est un fait qu'encore aujourd'hui, dans la plupart des situations 
``courantes'' en physique, le mod{\`e}le newtonien est parfaitament ad{\'e}quat, et ce se\-%
rait de la folie (vue la marge d'erreur admise dans les mesures faites) d'aller 
chercher des mod{\`e}les relativistes. De m{\^e}me, dans de nombreuses situations en ma\-%
th{\'e}matique, les anciennes notions famili{\'e}res d'``espace'' et de ``vari{\'e}t{\'e}'' restent 
parfaitement ad{\'e}quates, sans aller chercher des {\'e}l{\'e}ments nilpotents, des topos ou 
des ``structures mod{\'e}r{\'e}es''. Mais dans l'un et l'autre cas, pour un nombre croissant 
de contextes intervenant dans une recherche de pointe, les anciens cadres concep\-%
tuels sont devenus inaptes {\`a} exprimer les situations m{\^e}me les plus ``courantes''. 
}%
% Page 0066 = P 56 1--23
\origpage{P 56}%
pourrais dire que c'est avec l'apparition coup sur coup du point de vue des 
{\em sch{\'e}mas\/} (et de sa prog{\'e}niture\fnmark(*), plus dix mille pages de fondements 
\footnotetext{\fntag(*)% P 56 24--29
(A l'intention du math{\'e}maticien) Dans cette ``prog{\'e}niture'', je compte notam\-%
ment les sch{\'e}mas formels, les ``multiplicit{\'e}s'' en tous genres (et notamment, les 
multiplicit{\'e}s sch{\'e}matiques, ou formelles), enfin les espaces dits ``rigide-analy\-%
tiques'' (introduits par Tate, en suivant un ``ma{\^\i}tre d'{\oe}uvre'' fourni par moi, 
inspir{\'e} par la notion nouvelle de topos, en m{\^e}me temps que par celle de sch{\'e}ma 
formel). Cette liste n'est d'ailleurs nullement exhaustive\dots\ 
}%
{\`a} la clef), puis de celui des {\em topos}, qu'une situation de crise-qui-ne-dit-%
pas-son-nom s'est trouv{\'e}e finalement d{\'e}nou{\'e}e. 

    Dans l'image de tant{\^o}t, ce n'est pas {\em d'un\/} gamin d'ailleurs qu'il fau\-%
drait parler, comme produit d'une mutation soudaine, mais de {\em deux}. Deux 
gamins, de plus, qui ont entre eux un ``air de famille'' irr{\'e}cusable, m{\^e}me s'ils 
ne ressemblent gu{\`e}re au d{\'e}funt vieillard. Et encore, en y regardant de pr{\`e}s, on 
pourrait dire que le bambin Sch{\'e}mas ferait comme un ``cha{\^\i}non de parent{\'e}'' entre 
feu P{\`e}re Espace (alias Vari{\'e}t{\'e}s-en-tous-genres) et le bambin Topos\fnmark(**). 
\footnotetext{\fntag(**)% P 56 30--35
Il y aurait lieu d'ailleurs, {\`a} ces deux bambins, d'en ajouter encore un 
troisi{\`e}me plus jeune, apparu en des temps moins cl{\'e}ments: c'est le marmot 
{\em Espace mod{\'e}r{\'e}}. Comme je l'ai signal{\'e} ailleurs, il n'a pas eu droit 
{\`a} un certificat de naissance, et c'est dans l'ill{\'e}galit{\'e} totale que je l'ai 
n{\'e}anmoins inclus au nombre des douze ``ma{\^\i}tre-th{\`e}mes'' que j'ai eu l'honneur d'in\-%
troduire en math{\'e}matique. 
}%

\bigbreak
\nno20. La situation me semble tr{\`e}s proche de celle qui s'est pr{\'e}sent{\'e}e au d{\'e}but 
de ce si{\`e}cle, avec l'apparition de la th{\'e}orie de la relativit{\'e} d'Einstein. Il y 
avait un cul-de-sac conceptuel, plus flagrant encore, se concr{\'e}tisant par une 
{\em contradiction\/} soudaine, laquelle semblait irr{\'e}soluble. Comme de juste, 
l'id{\'e}e nouvelle qui allait remettre de l'ordre dans le chaos {\'e}tait une id{\'e}e d'une 
simplicit{\'e} enfantine. La chose remarquable (et conforme {\`a} un sc{\'e}nario des plus 
r{\'e}p{\'e}titifs\dots), c'est que parmi tous ces gens brillants, {\'e}minents, prestigieux 
qui {\'e}taient sur les dents soudain, pour essayer de ``sauver les meubles'', personne 
n'y ait song{\'e}, {\`a} cette id{\'e}e. Il fallait que ce soit un jeune homme inconnu, frais 
{\'e}moulu (si {\c c}a se trouve) des bancs des amphith{\'e}{\^a}tres estudiantins, qui vienne 
(un peu embarrass{\'e} peut-{\^e}tre de sa propre audace\dots) expliquer {\`a} ses illustres 
a{\^\i}n{\'e}s ce qu'il fallait faire pour ``sauver les ph{\'e}nom{\`e}nes'': il y avait qu'{\`a} plus 
s{\'e}parer l'espace du temps\fnmark(***)! Techniquement, tout {\'e}tait r{\'e}uni alors pour que 
\footnotetext{\fntag(***)% P 56 36--40
C'est un peu court, bien s{\^u}r, comme description de l'id{\'e}e d'Einstein. Au 
niveau technique, il fallait mettre en {\'e}vidence quelle structure mettre sur le 
nouvel espace-temps (c'{\'e}tait pourtant d{\'e}j{\`a} ``en l'air'', avec la th{\'e}orie de Maxwell 
et les id{\'e}es de Lorenz). Le pas essentiel ici {\'e}tait non de nature technique, mais 
bien {\em ``philosophique''}: se rendre compte que la notion de simulta\-%
% P 57 1--3
n{\'e}it{\'e} pour des {\'e}v{\'e}nements {\'e}loign{\'e}s n'avait aucune r{\'e}alit{\'e} exp{\'e}rimentale. C'est 
{\c c}a, la ``constatation enfantine'', le ``mais l'Empereur est nu!'', qui a fait fran\-%
chir ce fameux ``cercle imp{\'e}rieux et invisible qui limite un Univers''\dots\ 
}%
% Page 0067 = P 57 4--29
\origpage{P 57}%
cette id{\'e}e {\'e}close et soit accueillie. Et c'est {\`a} l'honneur des a{\^\i}n{\'e}s d'Einstein, 
qu'ils aient s{\^u} en effet accueillir l'id{\'e}e nouvelle, sans trop morig{\'e}ner. C'est 
l{\`a} un signe que c'{\'e}tait encore une grande {\'e}poque\dots\ 

    Du point de vue math{\'e}matique, l'id{\'e}e nouvelle d'Einstein {\'e}tait banale. Du 
point de vue de notre conception de {\em l'espace physique\/} par 
contre, c'{\'e}tait une mutation profonde, et un ``d{\'e}paysement'' soudain. La premi{\`e}re 
mutation du genre, depuis le mod{\`e}le math{\'e}matique de l'espace physique d{\'e}gag{\'e} par 
Euclide il y avait 2400 ans, et repris tel quel pour les besoins de la m{\'e}canique 
par tous les physiciens et astronomes depuis l'antiquit{\'e} (y inclus Newton), pour 
d{\'e}crire les ph{\'e}nom{\`e}nes m{\'e}caniques terrestres et stellaires. 

    Cette id{\'e}e initiale d'Einstein s'est par la suite beaucoup approfondie, 
s'incarnant en un mod{\`e}le math{\'e}matique plus subtil, plus riche et plus souple, 
en s'aidant du riche arsenal des notions math{\'e}matiques d{\'e}j{\`a} existantes\fnmark(*). Avec 
\footnotetext{\fntag(*)% P 57 30--31
Il s'agit surtout de la notion de ``vari{\'e}t{\'e} riemanienne'', et du calcul tenso\-%
riel sur une telle vari{\'e}t{\'e}. 
}%
la ``th{\'e}orie de la relativit{\'e} g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}e'', cette id{\'e}e s'{\'e}largit en une vaste 
{\em vision\/} du monde physique, embrassant dans un m{\^e}me regard le monde subato\-%
mique de l'infiniment petit, le syst{\`e}me solaire, la voie lact{\'e}e et les galaxies 
lointaines, et le cheminement des ondes {\'e}lectromagn{\'e}tiques dans un espace-temps 
courb{\'e} en chaque point par la mati{\`e}re qui s'y trouve\fnmark(**). C'est l{\`a} la deuxi{\`e}me 
\footnotetext{\fntag(**)% P 57 32--38
Un des traits les plus frappants qui distingue ce mod{\`e}le du mod{\`e}le euclidien 
(ou newtonien) de l'espace et du temps, et aussi du tout premier mod{\`e}le d'Einstein 
(``relativit{\'e} restreinte''), c'est que la {\em forme topologique 
globale\/} de l'espace-temps reste ind{\'e}termin{\'e}e, au lieu d'{\^e}tre prescrite 
imp{\'e}rativement par la nature m{\^e}me du mod{\`e}le. La question de savoir quelle est 
cette forme globale, me para{\^\i}t (en tant que math{\'e}maticien) l'une des plus fasci\-%
nantes de la cosmologie. 
}%
et la derni{\`e}re fois dans l'histoire de la cosmologie et de la physique ({\`a} la 
suite de la premi{\`e}re grande synth{\`e}se de Newton il y a trois si{\`e}cles), qu'est 
apparue une vaste vision unificatrice, dans le langage d'un mod{\`e}le math{\'e}matique, 
de l'ensemble des ph{\'e}nom{\`e}nes physiques dans l'Univers. 

    Cette vision einsteinienne de l'Univers physique a d'ailleurs {\'e}t{\'e} d{\'e}bord{\'e}e 
{\`a} son tour par les {\'e}v{\'e}nements. ``L'ensemble des ph{\'e}nom{\`e}nes physiques'' dont il 
s'agit de rendre compte a eu le temps de s'{\'e}toffer, depuis les d{\'e}buts du si{\`e}cle! 
Il est apparu une multitude de th{\'e}ories physiques, pour rendre compte chacune, 
% Page 0068 = P 58 1--4
\origpage{P 58}%
avec plus ou moins de succ{\`e}s, d'un paquet limit{\'e} de faits, dans l'immense ca\-%
pharna{\"u}m de tous les ``faits observ{\'e}s''. Et on attend toujours le gamin audacieux, 
qui trouvera en jouant la nouvelle clef (s'il en est une\dots), le ``mod{\`e}le-g{\^a}teau'' 
r{\^e}v{\'e}, qui veuille bien ``marcher'' pour sauver tous les ph{\'e}nom{\`e}nes {\`a} la fois\dots\fnmark(*) 
\footnotetext{\fntag(*)% P 58 5--52
On a appel{\'e} ``th{\'e}orie unitaire'' une telle th{\'e}orie hypoth{\'e}tique, qui arriverait 
{\`a} ``unifier'' et {\`a} concilier la multitude de th{\'e}ories partielles dont il a {\'e}t{\'e} ques\-%
tion. J'ai le sentiment que la r{\'e}flexion fondamentale qui attend d'{\^e}tre entrepri\-%
se, aura {\`a} se placer sur deux niveaux diff{\'e}rents. 

    $1^\circ$) Une r{\'e}flexion de nature ``philosophique'', sur la notion m{\^e}me de ``mod{\`e}le 
math{\'e}matique'' pour une portion de la r{\'e}alit{\'e}. Depuis les succ{\`e}s de la th{\'e}orie 
newtonienne, c'est devenu un axiome tacite du physicien qu'il {\em existe\/} un 
mod{\`e}le math{\'e}matique (voire m{\^e}me, un mod{\`e}le unique, ou {\em ``le''} mod{\`e}le) pour 
exprimer la r{\'e}alit{\'e} physique de fa{\c c}on parfaite, sans ``d{\'e}collement'' ni bavure. 
Ce consensus, qui fait loi depuis plus de deux si{\`e}cles, est comme une sorte de ves\-%
tige fossile de la vivante vision d'un Pythagore que ``Tout est nombre''. Peut-{\^e}tre 
est-ce l{\`a} le nouveau ``cercle invisible'', qui a remplac{\'e} les anciens cercles m{\'e}\-%
taphysiques pour limiter l'Univers du physicien (alors que la race des ``philoso\-%
phes de la nature'' semble d{\'e}finitivement {\'e}teinte, supplant{\'e}e haut-la-main par 
celle des ordinateurs\dots). Pour peu qu'un veuille bien s'y arr{\^e}ter ne fut-ce 
qu'un instant, il est bien clair pourtant que la validit{\'e} \correct{}{de} ce consensus-l{\`a} n'a 
rien d'{\'e}vident. Il y a m{\^e}me des raisons philosophiques tr{\`e}s s{\'e}rieuses, qui con\-%
duisent {\`a} le mettre en doute a priori, ou du moins, {\`a} pr{\'e}voir {\`a} sa validit{\'e} des 
limites tr{\`e}s strictes. Ce serait le moment ou jamais de soumettre cet axiome {\`a} une 
critique serr{\'e}e, et peut-{\^e}tre m{\^e}me, de ``d{\'e}montrer'', au del{\`a} de tout doute possi\-%
ble, qu'il n'est {\em pas\/} fond{\'e}: qu'il n'existe {\em pas\/} de mod{\`e}le math{\'e}matique ri\-%
goureux unique, rendant compte de l'ensemble des ph{\'e}nom{\`e}nes dits ``physiques'' 
r{\'e}pertori{\'e}s jusqu'{\`a} pr{\'e}sent. 

    Une fois cern{\'e}e de fa{\c c}on satisfaisante la notion m{\^e}me de ``mod{\`e}le mathemati\-%
que'', et celle de la ``validit{\'e}'' d'un tel mod{\`e}le (dans la limite de telles ``marges 
d'erreur'' admises dans les mesures faites), la question d'une ``th{\'e}orie unitaire'' 
ou tout au moins celle d'un ``mod{\`e}le optimum'' (en un sens {\`a} pr{\'e}ciser) se trouvera 
enfin clairement pos{\'e}e. En m{\^e}me temps, on aura sans doute une id{\'e}e plus claire 
aussi du degr{\'e} d'arbitraire qui est attach{\'e} (par n{\'e}cessit{\'e}, peut-{\^e}tre) au choix 
d'un tel mod{\`e}le. 

    $2^\circ$) C'est {\em apr{\`e}s\/} une telle r{\'e}flexion seulement, il me semble, que la 
question ``technique'' de d{\'e}gager un mod{\`e}le explicite, plus satisfaisant que ses 
devanciers, prend tout son sens. Ce serait le moment alors, peut-{\^e}tre, de se 
d{\'e}gager d'un deuxi{\`e}me axiome tacite du physicien, remontant {\`a} l'antiquit{\'e}, lui, 
et profond{\'e}ment ancr{\'e} dans notre mode de perception m{\^e}me de l'espace: c'est 
celui de la {\em nature continue\/} de l'espace et du temps (ou de 
l'espace-temps), du ``lieu'' donc o{\`u} se d{\'e}roulent les ``ph{\'e}nom{\`e}nes physiques''. 

    Il doit y avoir d{\'e}j{\`a} quinze ou vingt ans, en feuilletant le modeste volume 
constituant l'{\oe}uvre compl{\`e}te de Riemann, j'avais {\'e}t{\'e} frapp{\'e} par une remarque de 
lui ``en passant''. Il y fait observer qu'il se pourrait bien que la structure 
ultime de l'espace soit ``discr{\`e}te'', et que les repr{\'e}sentations ``continues'' que 
nous nous en faisons constituent peut-{\^e}tre une simplification (excessive peut-%
{\^e}tre, {\`a} la longue\dots) d'une r{\'e}alit{\'e} plus complexe; que pour l'esprit humain, 
``le continu'' {\'e}tait plus ais{\'e} {\`a} saisir que ``le discontinu'', et qu'il nous sert, 
par suite, comme un ``approximation'' pour appr{\'e}hender le discontinu. C'est l{\`a} une 
remarque d'une p{\'e}n{\'e}tration surprenante dans la bouche d'un math{\'e}maticien, {\`a} un 
moment o{\`u} le mod{\`e}le euclidien de l'espace physique n'avait jamais encore {\'e}t{\'e} mis 
en cause; au sens strictement logique, c'est plut{\^o}t le discontinu qui, tradition\-%
% P 59 1--18
nellement, a servi comme mode d'approche technique vers le continu. 

    Les d{\'e}veloppements en math{\'e}matique des derni{\`e}res d{\'e}cennies ont d'ailleurs mon\-%
tr{\'e} une symbiose bien plus intime entre structures continues et discontinues, 
qu'un ne l'imaginait encore dans la premi{\`e}re moiti{\'e} de ce si{\`e}cle. Toujours est-%
il que de trouver un mod{\`e}le ``satisfaisant'' (ou, au besoin, un ensemble de tels 
mod{\`e}les, se ``raccordant'' de fa{\c c}on aussi satisfaisante que possible\dots), que 
celui-ci soit ``continu'', ``discret'' ou de nature ``mixte'' --- un tel travail mettra 
en jeu s{\^u}rement une grande imagination conceptuelle, et un flair consomm{\'e} pour 
appr{\'e}hender et mettre {\`a} jour des structures math{\'e}matiques de type nouveau. Ce genre 
d'imagination ou de ``flair'' me semble chose rare, non seulement parmi les physi\-%
ciens (o{\`u} Einstein et Schr{\"o}dinger semblent avoir {\'e}t{\'e} parmi les rares exceptions), 
mais m{\^e}me parmi les math{\'e}maticiens (et l{\`a} je parle en pleine connaissance de cause). 

    Pour r{\'e}sumer, je pr{\'e}vois que le renouvellement attendu (s'il doit encore ve\-%
nir\dots) viendra, plut{\^o}t d'un math{\'e}maticien dans l'{\^a}me, bien inform{\'e} des grands 
probl{\`e}mes de la physique, que d'un physicien, Mais surtout, il y faudra un homme 
ayant ``l'ouverture philosophique'' pour saisir le n{\oe}ud du probl{\`e}me. Celui-ci n'est 
nullement de nature technique, mais bien un probl{\`e}me fondamental de ``philosophie 
de la nature''. 
}%

% Page 0069 = P 59 19--37
\origpage{P 59}%
    La comparaison entre ma contribution {\`a} la math{\'e}matique de mon temps, et 
celle d'Einstein {\`a} la physique, s'est impos{\'e}e {\`a} moi pour deux raisons: l'une 
et l'autre {\oe}uvre s'accomplit {\`a} la faveur d'une {\em mutation de la 
conception que nous avons de ``l'espace''} 
(au sens math{\'e}matique dans un cas, au sens physique dans l'autre); et l'une 
et l'autre prend la forme d'une {\em vision unificatrice}, embras\-%
sant une vaste multitude de ph{\'e}nom{\`e}nes et de situations qui jusque l{\`a} apparais\-%
saient comme s{\'e}par{\'e}s les uns des autres. Je vois l{\`a} une {\em parent{\'e} 
d'esprit\/} {\'e}vidente entre son {\oe}uvre\fnmark(*) et la mienne. 
\footnotetext{\fntag(*)% P 59 38--41
Je ne pr{\'e}tends nullement {\^e}tre familier de l'{\oe}uvre d'Einstein. En fait, je 
n'ai lu aucun de ses travaux, et ne connais ses id{\'e}es que par ou{\"\i}e-dire et tr{\`e}s 
approximativement. J'ai pourtant l'impression de discerner ``la for{\^e}t'', m{\^e}me si 
je n'ai jamais eu {\`a} faire l'effort de scruter aucun de ses arbres\dots\ 
}%

    Cette parent{\'e} ne me semble nullement contredite par une diff{\'e}rence de 
{\em ``substance''} {\'e}vidente. Comme je l'ai d{\'e}j{\`a} laiss{\'e} entendre tant{\^o}t, la 
mutation einsteinienne concerne la notion d'espace physique, alors qu'Einstein 
puise dans l'arsenal des notions math{\'e}matiques d{\'e}j{\`a} connues, sans avoir jamais 
besoin de l'{\'e}largir, voire de le bouleverser. Sa contribution a consist{\'e} {\`a} d{\'e}\-%
gager, parmi les structures math{\'e}matiques connues de son temps, celles qui {\'e}taient 
le mieux aptes {\`a} servir de ``mod{\`e}les'' au monde des ph{\'e}nom{\`e}nes physiques, en lieu 
et place du mod{\`e}le moribond\fnmark(**) l{\'e}gu{\'e} par ses devanciers. En ce sens, son {\oe}uvre 
\footnotetext{\fntag(**)% P 59 42--43
Pour des commentaires sur le qualificatif ``moribond'', voir une pr{\'e}c{\'e}dente 
note de bas de page (note~\fnmarkref{P 55-*}(*) page~\pgref{55}{P 55-*}). 
}%
a bien {\'e}t{\'e} celle d'un {\em physicien}, et au del{\`a}, celle d'un {\em ``philo\-%
sophe de la nature''}, au sens o{\`u} l'entendaient Newton et ses 
% Page 0070 = P 60 1--35
\origpage{P 60}%
contemporains. Cette dimension ``philosophique'' est absente de mon {\oe}uvre math{\'e}ma\-%
tique, o{\`u} je n'ai jamais {\'e}t{\'e} amen{\'e} {\`a} me poser de question sur les relations {\'e}ven\-%
tuelles entre les constructions conceptuelles ``id{\'e}ales'', s'effectuant dans 
l'Univers des choses math{\'e}matiques, et les ph{\'e}nom{\`e}nes qui ont lieu dans l'Univers 
physique (voire m{\^e}me, les {\'e}v{\'e}nements v{\'e}cus se d{\'e}roulant dans la psych{\'e}). Mon 
{\oe}uvre a {\'e}t{\'e} celle d'un {\em math{\'e}maticien}, se d{\'e}tournant d{\'e}lib{\'e}r{\'e}ment 
de la question des ``applications'' (aux autres sciences), ou des ``motivations'' 
et des racines psychiques de mon travail. D'un math{\'e}maticien, en plus, port{\'e} par 
son g{\'e}nie tr{\`e}s particulier {\`a} {\'e}largir sans cesse l'arsenal des notions {\`a} la base 
m{\^e}me de son art. C'est ainsi que j'ai {\'e}t{\'e} amen{\'e}, sans m{\^e}me m'en apercevoir et 
comme en jouant, {\`a} bouleverser la notion la plus fondamentale de toutes pour le 
g{\'e}om{\`e}tre: celle d'{\em espace\/} (et celle de ``vari{\'e}t{\'e}''), c'est {\`a} dire notre 
conception du {\em ``lieu''} m{\^e}me o{\`u} vivent les {\^e}tres g{\'e}om{\'e}triques. 

    La nouvelle notion d'espace (comme une sorte d'``espace g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}'', mais 
o{\`u} les points qui sont cens{\'e}s former l'``espace'' ont plus ou moins disparu) ne 
ressemble en rien, dans sa substance, {\`a} la notion apport{\'e}e par Einstein en phy\-%
sique (nullement d{\'e}routante, elle, pour le math{\'e}maticien). La comparaison s'impo\-%
se par contre avec la {\em m{\'e}canique quantique\/} d{\'e}couverte par 
{\em Schr{\"o}dinger\/}\fnmark(*). Dans cette m{\'e}canique nouvelle, le ``point mat{\'e}riel'' 
traditionnel dispara{\^\i}t, pour {\^e}tre remplac{\'e} par une sorte de ``nuage probabiliste'', 
plus ou moins dense d'une r{\'e}gion de l'espace ambiant {\`a} l'autre, suivant la 
``probabilit{\'e}'' pour que le point se trouve dans cette r{\'e}gion. On sent bien, dans 
cette optique nouvelle, une ``mutation'' plus profonde encore dans nos fa{\c c}ons de 
concevoir les ph{\'e}nom{\`e}nes m{\'e}caniques, que dans celle incarn{\'e}e par le mod{\`e}le 
d'Einstein --- une mutation qui ne consiste pas {\`a} remplacer simplement un mod{\`e}le 
math{\'e}matique un peu {\'e}troit aux entournures, par un autre similaire mais taill{\'e} 
plus large ou mieux ajust{\'e}. Cette fois, le mod{\`e}le nouveau ressemble si peu aux 
bons vieux mod{\`e}les traditionnels, que m{\^e}me le math{\'e}maticien grand sp{\'e}cialiste de 
m{\'e}canique a d{\^u} se sentir d{\'e}pays{\'e} soudain, voire perdu (ou outr{\'e}\dots). Passer de 
la m{\'e}canique de Newton {\`a} celle d'Einstein doit {\^e}tre un peu, pour le math{\'e}maticien, 
comme de passer du bon vieux dialecte proven{\c c}al {\`a} l'argot parisien dernier cri. 
Par contre, passer {\`a} la m{\'e}canique quantique, j'imagine, c'est passer du fran{\c c}ais 
au chinois. 

    Et ces ``nuages probabilistes'', rempla{\c c}ant les rassurantes particules mat{\'e}\-%
rielles d'antan, me rappellent {\'e}trangement les {\'e}lusifs ``voisinages ouverts'' qui 
\footnotetext{\fntag(*)% P 60 36--40
Je crois comprendre (par des {\'e}chos qui me sont revenus de divers c{\^o}t{\'e}s) qu'on 
consid{\`e}re g{\'e}n{\'e}ralement qu'il y a eu en ce si{\`e}cle trois ``r{\'e}volutions'' ou grands 
bouleversements en physique: la th{\'e}orie d'Einstein, la d{\'e}couverte de la radio\-%
activit{\'e} par les Curie, et l'introduction de la m{\'e}canique quantique par 
Schr{\"o}dinger. 
}%
% Page 0071 = P 61 1--28
\origpage{P 61}%
peuplent les topos, tels des fant{\^o}mes {\'e}vanescents, pour entourer des ``points'' 
imaginaires, auxquels continue {\`a} se raccrocher encore envers et contre tous une 
imagination r{\'e}calcitrante\dots\ 

\bigbreak
\nno21. Cette br{\`e}ve excursion chez les ``voisins d'en face'', les physiciens, pourra 
servir de point de rep{\`e}re pour un lecteur qui (comme la plupart des gens) ignore 
tout du monde des math{\'e}maticiens, mais qui a s{\^u}rement entendu causer d'Einstein 
et de sa fameuse ``quatri{\`e}me dimension'', voire m{\^e}me, de m{\'e}canique quantique. Apr{\`e}s 
tout, m{\^e}me si ce n'{\'e}tait pas pr{\'e}vu par les inventeurs que leurs d{\'e}couvertes se 
concr{\'e}tiseraient en des Hiroshima, et plus tard en des surench{\`e}res atomiques tant 
militaires que (soi-disant) ``pacifiques'', le fait est que la d{\'e}couverte en physi\-%
que a un impact tangible et quasi-imm{\'e}diat sur le monde des hommes en g{\'e}n{\'e}ral. 
L'impact de la d{\'e}couverte math{\'e}matique, et surtout en math{\'e}matiques dites ``pures'' 
(c'est {\`a} dire, sans motivation en vue d'``applications'') est moins direct, et s{\^u}\-%
rement plus d{\'e}licat {\`a} cerner. Je n'ai pas eu connaissance, par exemple, que mes 
contributions {\`a} la math{\'e}matique aient ``servi'' {\`a} quoi que ce soit, pour construire 
le moindre engin disons. Je n'y ai aucun m{\'e}rite qu'il en soit ainsi, c'est s{\^u}r, 
mais {\c c}a n'emp{\^e}che que {\c c}a me rassure. D{\`e}s qu'il y a des applications, on peut 
{\^e}tre s{\^u}r que c'est les militaires (et apr{\`e}s eux, la police) qui sont les premiers 
{\`a} s'en emparer --- et pour ce qui est de l'industrie (m{\^e}me celle dite ``pacifique''), 
ce n'est pas toujours tellement mieux\dots\ 

    Pour ma propre gouverne certes, ou pour celle d'un lecteur math{\'e}maticien, 
il s'imposerait plut{\^o}t d'essayer de situer mon {\oe}uvre par des ``points de r{\'e}p{\`e}re'' 
dans l'histoire de la math{\'e}matique elle-m{\^e}me, plut{\^o}t que d'aller chercher des ana\-%
logies ailleurs. J'y ai pens{\'e} ces derniers jours, dans la limite de ma connais\-%
sance assez vague de l'histoire en question\fnmark(*). Au cours de la ``Promena\correct{n}{}de'' 
\footnotetext{\fntag(*)% P 61 29--36
Depuis que je suis gosse d{\'e}j{\`a}, je n'ai jamais trop accroch{\'e} {\`a} l'histoire (ni 
{\`a} la g{\'e}ographie d'ailleurs). (Dans la cinqui{\`e}me partie de R{\'e}coltes et Semailles 
({\'e}crite seulement en partie), j'ai l'occasion ``en passant'' de d{\'e}tecter ce qui me 
semble la raison profonde de ce ``bloc'' partiel contre l'histoire --- un bloc qui est 
en train de se r{\'e}sorber, je crois, au cours de ces derni{\`e}res ann{\'e}es.) L'enseigne\-%
ment math{\'e}matique re{\c c}u par mes a{\^\i}n{\'e}s, dans le ``cercle bourbachique'', n'a pas {\'e}t{\'e} 
d'ailleurs pour arranger les choses --- les r{\'e}f{\'e}rences historiques occasionnelles y 
ont {\'e}t{\'e} plus que rares. 
}%
d{\'e}j{\`a}, j'avais eu l'occasion d'{\'e}voquer une ``lign{\'e}e'' de math{\'e}maticiens, d'un tem\-%
p{\'e}rament en lequel je me reconnais: Galois, Riemann, Hilbert. Si j'{\'e}tais mieux 
au courant de l'histoire de mon art, il y a des chances que je trouverais {\`a} 
% Page 0072 = P 62 1--26
\origpage{P 62}%
prolonger cette lign{\'e}e plus loin dans le pass{\'e}, ou {\`a} y intercaler peut-{\^e}tre 
quelques autres noms que je ne connais gu{\`e}re que par ou{\"\i}e-dire. La chose qui 
m'a frapp{\'e}, c'est que je ne me rappelle pas avoir eu connaissance, ne f{\^u}t-ce 
que par allusion par des amis ou coll{\`e}gues mieux vers{\'e}s en histoire que moi, d'un 
math{\'e}maticien {\`a} part moi qui ait apport{\'e} une multiplicit{\'e} d'id{\'e}es novatrices, non 
pas plus ou moins disjointes les unes des autres, mais comme parties d'une vaste 
vision unificatrice (comme cela a {\'e}t{\'e} le cas pour Newton et pour Einstein en phy\-%
sique et en cosmologie, et pour Darwin et pour Pasteur en biologie). J'ai eu con\-%
naissance seulement de deux ``moments'' dans l'histoire de la math{\'e}matique, o{\`u} soit 
n{\'e}e une vision nouvelle de vaste envergure. L'un de ces moments est celui de la 
naissance de la math{\'e}matique, en tant que science au sens o{\`u} nous l'entendons 
aujourd'hui, il y a 2500 ans, dans la Gr{\`e}ce antique. L'autre est, avant tout, 
celui de la naissance du calcul infinit{\'e}simal et int{\'e}gral, au dix-septi{\`e}me si{\`e}\-%
cle, {\'e}poque marqu{\'e}e par les noms de Newton, Leibnitz, Descartes et d'autres. Pour 
autant que je sache, la vision n{\'e}e en l'un ou en l'autre moment a {\'e}t{\'e} l'{\oe}u\-% 
vre non d'un seul, mais l'{\oe}uvre collective d'une {\'e}poque. 

    Bien s{\^u}r, entre l'{\'e}poque de Pythagore et d'Euclide et le d{\'e}but du dix-%
septi{\`e}me, la math{\'e}matique avait eu le temps de changer de visage, et de m{\^e}me 
entre celle du ``Calcul de infiniments petits'' cr{\'e}e par les math{\'e}maticiens du 
dix-septi{\`e}me si{\`e}cle, et le milieu du pr{\'e}sent dix-neuvi{\`e}me. Mais peur autant que 
je sache, les changements profonds qui sont intervenus pendant ces deux p{\'e}riodes, 
l'une de plus de deux mille ans et l'autre de trois si{\`e}cles, ne se sont jamais 
concr{\'e}tis{\'e}s ou condens{\'e}s en une vision nouvelle s'exprimant dans une {\oe}uvre 
donnee\fnmark(*), d'une fa{\c c}on similaire {\`a} ce qui a eu lieu en physique et en cosmologie, 
\footnotetext{\fntag(*)% P 62 27--42
Des heures apr{\`e}s avoir {\'e}crit ces lignes, j'ai {\'e}t{\'e} frapp{\'e} que je n'aie pas 
song{\'e} ici {\`a} la vaste synth{\`e}se des math{\'e}matiques contemporaines que s'efforce de 
pr{\'e}senter le trait{\'e} (collectif) de N.~Bourbaki. (Il sera encore abondamment 
question du groupe Bourtaki dans la premi{\`e}re partie de R{\'e}coltes et Semailles.) 
Cela tient, il me semble, {\`a} deux raisons. 

    D'une part, cette synth{\`e}se se borne {\`a} une sorte de ``mise en ordre'' d'un 
vaste ensemble d'id{\'e}es et de r{\'e}sultats d{\'e}j{\`a} connus, sans y apporter d'id{\'e}e nova\-%
trice de son cr{\^u}. Si id{\'e}e nouvelle il y a, ce serait celle d'une d{\'e}finition ma\-%
th{\'e}matique pr{\'e}cise de la notion de ``structure'', qui s'est r{\'e}v{\'e}l{\'e}e un fil condu\-%
teur pr{\'e}cieux {\`a} travers tout le trait{\'e}. Mais cette id{\'e}e me semble s'assimiler 
plut{\^o}t {\`a} celle d'un lexicographe intelligent et imaginatif, qu'{\`a} un {\'e}l{\'e}ment de 
renouveau d'une langue, donnant une appr{\'e}hension renouvel{\'e}e de la r{\'e}alit{\'e} (ici, de 
celle des choses math{\'e}matiques). 

    D'autre part, d{\`e}s les ann{\'e}es cinquante, l'id{\'e}e de structure s'est vue d{\'e}pas\-%
ser par les {\'e}v{\'e}nements, avec l'afflux soudain des m{\'e}thodes ``cat{\'e}goriques'' dans 
certaines des parties les plus dynamiques de la math{\'e}matique, telle la topologie 
% P 63 1--13
ou la g{\'e}om{\'e}trie alg{\'e}brique. (Ainsi, la notion de ``topos'' refuse d'entrer dans le 
``sac bourbachique'' des structures, d{\'e}cid{\'e}ment {\'e}troit aux entournures!) En se 
d{\'e}cidant, en pleine connaissance de cause, certes, {\`a} ne pas s'engager dans cette 
``gal{\`e}re'', Bourbaki a par l{\`a}-m{\^e}me renonc{\'e} {\`a} son ambition initiale, qui {\'e}tait de 
fournir {\em les\/} fondements et {\em le\/} langage de base pour l'ensemble de la math{\'e}\-%
matique contemporaine. 

    Il a, par contre, fix{\'e} un langage et, en m{\^e}me temps, un certain {\em style\/} 
d'{\'e}criture et d'approche de la math{\'e}matique. Ce style {\'e}tait {\`a} l'origine le re\-%
flet (tr{\`e}s partiel) d'un certain {\em esprit}, vivant et direct h{\'e}ritage de 
Hilbert. Au cours des ann{\'e}es cinquante et soixante, ce style a fini par s'imposer 
--- pour le meilleur et (surtout) pour le pire. Depuis une vingtaine d'ann{\'e}es, il a 
fini par devenir un rigide {\em ``canon''} d'une ``rigueur'' de pure fa{\c c}ade, 
dont l'esprit qui l'animait jadis semble disparu sans retour. 
}%
avec les grandes synth{\`e}ses de Newton, puis d'Einstein, en deux moments cruciaux 
de leur histoire. 

% Page 0073 = P 63 14--34
\origpage{P 63}%
    Il semblerait bien qu'en tant que serviteur d'une vaste vision unificatrice 
n{\'e}e en moi, je sois ``unique en mon genre'' dans l'histoire de la math{\'e}matique de 
l'origine {\`a} nos jours. D{\'e}sol{\'e} d'avoir l'air de vouloir me singulariser plus qu'il 
ne para{\^\i}t permis! A mon propre soulagement, je crois pourtant discerner une sor\-%
te de {\em fr{\`e}re\/} potentiel (et providentiel!). J'ai d{\'e}j{\`a} eu tant{\^o}t l'occasion 
de l'{\'e}voquer, comme le premier dans la lign{\'e}e de mes ``fr{\`e}res de temp{\'e}rament'': 
c'est {\em Evariste Galois}. Dans sa courte et fulgurante vie\fnmark(*), je 
\footnotetext{\fntag(*)% P 63 35--38
Evariste Galois (1811--1832) est mort dans un duel, {\`a} l'{\^a}ge de vingt-et-un 
ans. Il y a, je crois, plusieurs biographies de lui. J'ai lu comme jeune homme 
une biographie romanc{\'e}e, {\'e}crite par le physicien Infeld, qui m'avait beaucoup 
frapp{\'e}e {\`a} l'{\'e}poque. 
}%
crois discerner l'amorce d'une grande vision --- celle justement des ``{\'e}pousailles 
du nombre et de la grandeur'', dans une vision g{\'e}om{\'e}trique nouvelle. J'{\'e}voque 
ailleurs dans R{\'e}coltes et Semailles\fnmark(**) comment, il y a deux ans, est apparu en 
\footnotetext{\fntag(**)% P 63 39--39
Voir ``L'h{\'e}ritage de Galois'' (ReS~I, section~7). 
}%
moi cette intuition soudaine: que dans le travail math{\'e}matique qui {\`a} ce moment 
exer{\c c}ait sur moi la fascination la plus puissante, j'{\'e}tais en train de ``repren\-%
dre l'h{\'e}ritage de Galois''. Cette intuition, rarement {\'e}voqu{\'e}e depuis, a pourtant 
eu le temps de m{\^u}rir en silence. La r{\'e}flexion r{\'e}trospective sur mon {\oe}uvre que 
je poursuis depuis trois semaines y aura s{\^u}rement encore contribu{\'e}. La filiation 
la plus directe que je crois reconna{\^\i}tre {\`a} pr{\'e}sent avec un math{\'e}maticien du pass{\'e}, 
est bien celle qui me relie {\`a} Evariste Galois. A tort ou {\`a} raison, il me semble 
que cette vision que j'ai d{\'e}velopp{\'e}e pendant quinze ann{\'e}es de ma vie, et qui a 
continu{\'e} encore {\`a} m{\^u}rir en moi et {\`a} s'enrichir pendant les seize ann{\'e}es {\'e}coul{\'e}es 
depuis mon d{\'e}part de la sc{\`e}ne math{\'e}matique --- que cette vision est aussi celle 
que Galois n'aurait pu s'emp{\^e}cher de d{\'e}velopper\fnmark(***), s'il s'{\'e}tait trouv{\'e} dans 
\footnotetext{\fntag(***)% P 63 40--43
Je suis persuad{\'e} d'ailleurs qu'un Galois serait all{\'e} bien plus loin encore 
que je n'ai {\'e}t{\'e}. D'une part {\`a} cause de ses dons tout {\`a} fait exceptionnels (que je 
n'ai pas re{\c c}us en partage, quant {\`a} moi). D'autre part parce qu'il est probable 
qu'il n'aurait pas, comme moi, laiss{\'e} se distraire la majeure part de son {\'e}nergie, 
% P 64 1--2
pour d'interminables t{\^a}ches de mise en forme minutieuse, au fur et {\`a} mesure, 
de ce qui est d{\'e}j{\`a} plus ou moins acquis\dots\ 
}%
% Page 0074 = P 64 3--34
\origpage{P 64}%
les parages {\`a} ma place, et sans qu'une mort pr{\'e}coce ne vienne brutalement cou\-%
per court un magnifique {\'e}lan. 

    Il y a une autre raison encore, s{\^u}rement, qui contribue {\`a} me donner ce sen\-%
timent d'une ``parent{\'e} essentielle'' --- d'une parent{\'e} qui ne se r{\'e}duit pas au seul 
``temp{\'e}rament math{\'e}matique'', ni aux aspects marquants d'une {\oe}uvre. Entre sa vie 
et la mienne, je sens aussi une parent{\'e} de destins. Certes, Galois est mort 
stupidement, {\`a} l'{\^a}ge de vingt-et-un ans, alors que je vais, moi, sur mes soixante 
ans, et bien d{\'e}cid{\'e} {\`a} faire de vieux os. Cela n'emp{\^e}che pourtant qu'Evariste 
Galois est rest{\'e} de son vivant, tout comme moi un si{\`e}cle et demi plus tard, un 
{\em ``marginal''} dans le monde math{\'e}matique officiel. Dans le cas de Galois, 
il pourrait sembler {\`a} un regard su\correct{r}{}perficiel que cette marginalit{\'e} {\'e}tait 
``accidentelle'', qu'il n'avait tout simplement pas eu le temps encore de 
``s'imposer'' par ses id{\'e}es novatrices et par ses travaux. Dans mon cas, ma mar\-%
ginalit{\'e}, pendant les trois premi{\`e}res ann{\'e}es de ma vie de math{\'e}maticien, {\'e}tait 
due {\`a} mon ignorance (d{\'e}lib{\'e}r{\'e}e peut-{\^e}tre\dots) de l'existence m{\^e}me d'un monde des 
math{\'e}maticiens, auquel j'aurais {\`a} me confronter; et depuis mon d{\'e}part de la 
sc{\`e}ne math{\'e}matique, il y a seize ans, elle est la cons{\'e}quence d'un choix d{\'e}lib{\'e}\-%
r{\'e}. C'est ce choix, s{\^u}rement, qui a provoqu{\'e} en repr{\'e}sailles une ``volont{\'e} collec\-%
tive sans failles'' d'effacer de la math{\'e}matique toute trace de mon nom, et avec 
lui la vision aussi dont je m'{\'e}tais fait le serviteur. 

    Mais au del{\`a} de ces diff{\'e}rences accidentelles, je crois discerner {\`a} cette 
``marginalit{\'e}'' une cause commune, que je sens essentielle. Cette cause, je ne la 
vois pas dans des circonstances historiques, ni dans des particularit{\'e}s de 
``temp{\'e}rament'' ou de ``caract{\`e}re'' (lesquels sont sans doute aussi diff{\'e}rents de 
lui {\`a} moi qu'ils peuvent l'{\^e}tre d'une personne {\`a} une autre), et encore moins 
certes au niveau des ``dons'' (visiblement prodigieux chez Galois, et comparative\-%
ment modestes chez moi). S'il y a bien une ``parent{\'e} essentielle'', je la vois {\`a} 
un niveau bien plus humble, bien plus {\'e}l{\'e}mentaire. 

    J'ai senti une telle parent{\'e} en quelques rares occasions dans ma vie. C'est 
par elle aussi que je me sens ``proche'' d'un autre math{\'e}maticien encore, et qui 
fut mon a{\^\i}n{\'e}: {\em Claude Chevalley\/}\fnmark(*). Le lien que je veux dire 
\footnotetext{\fntag(*)% P 64 35--38
Je parle de Claude Chevalley ici et l{\`a} dans R{\'e}coltes et Semailles, et plus 
particuli{\`e}rement dans la section ``Rencontre avec Claude Chevalley --- ou libert{\'e} 
et bons sentiments'' (ReS~I section~11), et dans la note ``Un adieu {\`a} 
Claude Chevalley'' (ReS~III, note n$^\circ$~100). 
}%
est celui d'une certaine ``na{\"\i}vet{\'e}'', ou d'une ``innocence'', dont j'ai eu occasion 
% Page 0075 = P 65 1--9
\origpage{P 65}%
de parler. Elle s'exprime par une propension (souvent peu appr{\'e}ci{\'e}e par l'en\-%
tourage) {\`a} regarder les choses par ses propres yeux, plut{\^o}t qu'{\`a} travers des 
lunettes brevet{\'e}es, gracieusement offertes par quelque groupe humain plus ou 
moins vaste, investi d'autorit{\'e} pour une raison ou une autre. 

    Cette ``propension'', ou cette attitude int{\'e}rieure, n'est pas le privil{\`e}ge 
d'une maturit{\'e}, mais bien celui de l'enfance. C'est un don re{\c c}u en naissant, en 
m{\^e}me temps que la vie --- un don humble et redoutable. Un don souvent enfoui pro\-%
fond, que certains ont su conserver tant soit peu, ou retrouver peut-{\^e}tre\dots\ 

On peut l'appeler aussi {\em le don de solitude}. 

